(Epcar-05) Em uma sequência de 10 números, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{9}, a_{10}, os sete primeiros termos estão em progressão aritmética de primeiro termo 1 , os três últimos termos estão em progressão geométrica, cujo primeiro termo é 7 . Sabendo-se que a_{7}=a_{8} e a_{6} = ag, a soma dos termos dessa sequència é um número entre
a) 45 e 46
b) 46 e 47
c) 47 e 48
d) 48 e 49

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência \{a_n\}_{n=1}^{10} em que:
  1. Os sete primeiros termos formam uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo a_1=1.
  2. Os três últimos termos ( a_8,a_9,a_{10}) formam uma progressão geométrica (PG) cujo primeiro termo é a_8=7.
  3. Além disso, é dado que a_7 = a_8 e a_6 = a_9.
Queremos encontrar a soma
S = \sum_{n=1}^{10} a_n
e verificar em qual dos intervalos propostos ela se encaixa.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas dos termos em cada parte:
Para a PA de razão d, o k-ésimo termo é
a_k = 1 + (k-1)\,d,\quad k=1,2,\dots,7.
Para a PG de razão r, com a_8=7,
a_8 = 7,\quad a_9 = 7\,r,\quad a_{10} = 7\,r^2.

Passo 3

Usamos as condições de “emparelhamento” entre PA e PG:
  1. a_7 = a_8
1 + 6d = 7 \quad\Longrightarrow\quad 6d = 6 \quad\Longrightarrow\quad d = 1.
  1. a_6 = a_9 dá, usando a_6 = 1 + 5d e a_9 = 7r,
1 + 5\cdot1 = 7r \quad\Longrightarrow\quad 6 = 7r \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{6}{7}.

Passo 4

Calculamos agora a soma em duas partes:
Parte 1: soma dos sete primeiros termos da PA,
S_{\text{PA}} = \frac{7}{2}\bigl(a_1 + a_7\bigr) = \frac{7}{2}\bigl(1 + 7\bigr) = 28.
Parte 2: soma dos três termos da PG,
S_{\text{PG}} = 7 + 7r + 7r^2 = 7\Bigl(1 + \tfrac{6}{7} + \bigl(\tfrac{6}{7}\bigr)^2\Bigr) = 7\Bigl(1 + \tfrac{6}{7} + \tfrac{36}{49}\Bigr) = 7\Bigl(\tfrac{49 + 42 + 36}{49}\Bigr) = 7\cdot\tfrac{127}{49} = \tfrac{889}{49} \approx 18{,}1429.
Logo, a soma total é
S = S_{\text{PA}} + S_{\text{PG}} = 28 + \tfrac{889}{49} = 28 + 18{,}1429 \approx 46{,}1429.

Passo 5

Observando o valor aproximado S\approx46{,}14, concluímos que ele está entre 46 e 47.

Resposta

(b) 46 e 47

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