(Fuvest-01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão aritmética (PA) e de uma progressão geométrica (PG), ambas com primeiro termo igual a 4. Sabe-se que o terceiro termo das duas coincide e é positivo, e que o segundo termo da PA excede o segundo termo da PG em 2. O conteúdo aqui é modelar termos de PA e PG, montar equações e resolver para encontrar esse terceiro termo.

Passo 2

Seja d a razão da PA e r a razão da PG. Então os termos são:
– PA:
\;a_1=4,\quad a_2=4+d,\quad a_3=4+2d.
– PG:
\;g_1=4,\quad g_2=4r,\quad g_3=4r^2.
A condição “o segundo termo da PA excede o da PG em 2” vira
(4+d)-(4r)=2.

Passo 3

Da equação do passo anterior segue
d-4r=2\quad\Longrightarrow\quad d=4r+(-2)\;=\;4r-2.
Como a_3 coincide com g_3, temos
4+2d=4r^2.
Substituindo d=4r-2 nessa igualdade:
4+2(4r-2)=4r^2 \;\Longrightarrow\; 4+8r-4=4r^2 \;\Longrightarrow\; 8r=4r^2 \;\Longrightarrow\; 4r^2-8r=0 \;\Longrightarrow\; 4r(r-2)=0.
Como g_3=4r^2>0, rejeitamos r=0 e ficamos com r=2.

Passo 4

Com r=2 obtemos
d=4\cdot2-2=8-2=6.
Então o terceiro termo vale
a_3=4+2d=4+2\cdot6=4+12=16.

Resposta

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