(Fuvest-01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Passo 1
O enunciado fala de uma progressão aritmética (PA) e de uma progressão geométrica (PG), ambas com primeiro termo igual a
. Sabe-se que o terceiro termo das duas coincide e é positivo, e que o segundo termo da PA excede o segundo termo da PG em
. O conteúdo aqui é modelar termos de PA e PG, montar equações e resolver para encontrar esse terceiro termo.
Passo 2
Seja
a razão da PA e
a razão da PG. Então os termos são:
– PA:
.
– PG:
.
A condição “o segundo termo da PA excede o da PG em ” vira
– PA:
– PG:
A condição “o segundo termo da PA excede o da PG em
Passo 3
Da equação do passo anterior segue
Como
coincide com
, temos
Substituindo
nessa igualdade:
Como
, rejeitamos
e ficamos com
.
Passo 4
Com
obtemos
Então o terceiro termo vale
Resposta
16