(Fuvest-05) Uma sequência de números reais a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots satisfaz à lei de formação:
a_{n+1}=6 a_{n}, se n é impar
a_{n \cdot 1}=\frac{1}{3} a_{n}, se n é par.
Sabendo-se que \mathrm{a}_{1}=\sqrt{2}
a) escreva os oito primeiros termos da sequência.
b) determine a_{37} e a_{38}.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_1 = \sqrt{2},
e, para n\ge1,
se n é ímpar então
a_{n+1} = 6\,a_n,
e se n é par então
a_{n+1} = \tfrac{1}{3}\,a_n.
Estamos trabalhando com recorrência dependente da paridade de n.

Passo 2

Vamos usar a regra passo a passo até o oitavo termo:
a_1 = \sqrt{2} (dado).
Como 1 é ímpar,
a_2 = 6\,a_1 = 6\sqrt{2}.
Como 2 é par,
a_3 = \tfrac{1}{3}\,a_2 = \tfrac{1}{3}\cdot6\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
Como 3 é ímpar,
a_4 = 6\,a_3 = 6\cdot2\sqrt{2}=12\sqrt{2}.
Como 4 é par,
a_5 = \tfrac{1}{3}\,a_4 = \tfrac{1}{3}\cdot12\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
Como 5 é ímpar,
a_6 = 6\,a_5 = 6\cdot4\sqrt{2}=24\sqrt{2}.
Como 6 é par,
a_7 = \tfrac{1}{3}\,a_6 = \tfrac{1}{3}\cdot24\sqrt{2}=8\sqrt{2}.
Como 7 é ímpar,
a_8 = 6\,a_7 = 6\cdot8\sqrt{2}=48\sqrt{2}.

Passo 3

Observando dois termos de uma vez, note que para k\ge1:
a_{2k} = 6\,a_{2k-1}, \qquad a_{2k+1} = \tfrac{1}{3}\,a_{2k}.
Combinando dá
a_{2k+1} = \tfrac{1}{3}\cdot6\,a_{2k-1}=2\,a_{2k-1}.

Passo 4

Dessa forma, por indução em k, obtemos
a_{2k-1} = 2^{\,k-1}\sqrt{2}, \qquad a_{2k} = 6\,a_{2k-1} = 6\cdot2^{\,k-1}\sqrt{2}.

Passo 5

Para n=37 temos 37=2k-1 com k=19, logo
a_{37} = 2^{\,19-1}\sqrt{2} = 2^{18}\sqrt{2}.
Para n=38 temos 38=2k com k=19, logo
a_{38} = 6\cdot2^{18}\sqrt{2}.

Resposta

a) a_1 = \sqrt{2},\;a_2 = 6\sqrt{2},\;a_3 = 2\sqrt{2},\;a_4 = 12\sqrt{2},\;a_5 = 4\sqrt{2},\;a_6 = 24\sqrt{2},\;a_7 = 8\sqrt{2},\;a_8 = 48\sqrt{2}.
b) a_{37} = 2^{18}\sqrt{2},\quad a_{38} = 6\cdot2^{18}\sqrt{2}.

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