(Fuvest-05) Uma sequência de números reais
satisfaz à lei de formação:
, se
é impar
, se
é par.
Sabendo-se que
a) escreva os oito primeiros termos da sequência.
b) determine
e
.
Sabendo-se que
a) escreva os oito primeiros termos da sequência.
b) determine
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e, para
,
se é ímpar então
se
e se
é par então
Estamos trabalhando com recorrência dependente da paridade de
.
Passo 2
Vamos usar a regra passo a passo até o oitavo termo:
(dado).
Como é ímpar,
Como
Como
é par,
Como
é ímpar,
Como
é par,
Como
é ímpar,
Como
é par,
Como
é ímpar,
Passo 3
Observando dois termos de uma vez, note que para
:
Combinando dá
Passo 4
Dessa forma, por indução em
, obtemos
Passo 5
Para
temos
com
, logo
Para
temos
com
, logo
Resposta
a)
b)
b)