A equação
, representa uma família de curvas, uma para cada valor do parâmetro
. Demonstrar que, em tal família de curvas, a que tem o momento de inércia mínimo, em tôrno do eixo dos
, é aquela cujo centro de massa está situado no cixo dos z.
Passo 1
O enunciado considera a família de curvas
com parâmetro real
. Queremos mostrar que, dentre todas essas curvas, aquela cuja energia cinética de rotação (momento de inércia) em torno do eixo
é mínima é precisamente a que tem seu centro de massa no próprio eixo
(ou seja, cuja coordenada média em
é zero). Para isso, vamos (1) escrever o momento de inércia
como função de
, (2) minimizar essa função e (3) interpretar a condição de mínimo em termos do centro de massa.
Passo 2
Escolhendo densidade linear constante
, o elemento de massa é
O momento de inércia em torno do eixo
é
Passo 3
Definindo os coeficientes
podemos reescrever
Passo 4
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
O segundo derivado é
já que
, garantindo mínimo.
Passo 5
Note que o centro de massa tem coordenada em
dada por
Para
obtemos
. Ou seja, a curva de momento de inércia mínimo é aquela cujo centro de massa está no eixo
.
Resposta
A curva de momento de inércia mínimo em torno do eixo
é aquela para a qual
, isto é, cujo centro de massa está situado no próprio eixo
.