A equação y=f(x)+alpha, a <=q x <=q b, representa uma família de curvas, uma para cada valor do parâmetro alpha. Demonstrar que, em tal família de curvas, a que tem o momento de inércia mínimo, em tôrno do eixo dos x, é aquela cujo centro de massa está situado no cixo dos z.

Passo 1

O enunciado considera a família de curvas
y = f(x) + alpha, a <= x <= b,
com parâmetro real alpha. Queremos mostrar que, dentre todas essas curvas, aquela cuja energia cinética de rotação (momento de inércia) em torno do eixo x é mínima é precisamente a que tem seu centro de massa no próprio eixo x (ou seja, cuja coordenada média em y é zero). Para isso, vamos (1) escrever o momento de inércia I(alpha) como função de alpha, (2) minimizar essa função e (3) interpretar a condição de mínimo em termos do centro de massa.

Passo 2

Escolhendo densidade linear constante mu, o elemento de massa é
dm = mu,ds com ds = raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx
O momento de inércia em torno do eixo x é
I(alpha) =integralcurva y^2,dm =mu integrala^b l(f(x)+alphar)^2raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 3

Definindo os coeficientes
C0 = integrala^braiz1 + l(f'(x)r)^2,dx, C1 = integrala^bf(x),raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx, C2 = integrala^bf(x)^2,raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx,
podemos reescrever
I(alpha) = mul(C2 + 2alpha,C1 + alpha^2,C0r)

Passo 4

Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a alpha e igualamos a zero:
dIdalpha = mul(2,C1 + 2alpha,C0r) =0 Longrightarrow alpha^* = -C1C0
O segundo derivado é
d^2Idalpha^2 =2,mu,C0>0,
já que C0>0, garantindo mínimo.

Passo 5

Note que o centro de massa tem coordenada em y dada por
bar y =1Mintegral y,dm =1mu,C0 integrala^bl(f(x)+alphar)raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx =C1 + alpha,C0C0
Para alpha=alpha^*=-C1/C0 obtemos bar y=0. Ou seja, a curva de momento de inércia mínimo é aquela cujo centro de massa está no eixo x.

Resposta

A curva de momento de inércia mínimo em torno do eixo x é aquela para a qual bar y=0, isto é, cujo centro de massa está situado no próprio eixo x.

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