Calcular a área da catenóide, ou seja, a superfície obtida pela rotação de um arco da catenária, y=Ch x, em tôrno do eixo dos x.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo x o arco da catenária
y=cosh x
num intervalo qualquer [a,b]. Para isso vamos usar a fórmula de área de revolução em torno do eixo x:
A ;=;2piintegrala^by,raiz1+l(y'r)^2;dx

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de y:
y'=sinh x,
então
raiz1+(y')^2 =raiz1+sinh^2x =cosh x
Substituindo na fórmula,
A=2piintegrala^bcosh x;cosh x;dx =2piintegrala^bcosh^2x;dx

Passo 3

Para integrar cosh^2x usamos a identidade
cosh^2x=1+cosh(2x)2,
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integralcosh^2x;dx =integral1+cosh(2x)2;dx =x2+sinh(2x)4
Portanto
A =2pil[x2+sinh(2x)4r]a^b =pil[(b-a)r]+pi2l[sinh(2b)-sinh(2a)r]

Passo 4

No caso simétrico xin[-u,u], temos b=u e a=-u. Como
sinh(2u)-sinh(-2u)=2sinh(2u) e b-a=2u,
segue
A =pil[2ur]+pi2l[2sinh(2u)r] =pil[2u+sinh(2u)r]

Resposta

Para um arco em [a,b]:
A=pil[(b-a)r]+pi2l[sinh(2b)-sinh(2a)r]
No caso simétrico xin[-u,u]:
A=pil[2u+sinh(2u)r]

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