Desenhar as curvas definidas pelas equações
Qual o comportamento da curva quando
varia desde
até
? Calcular a curvatura
em função do comprimento do arco.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e pede (a) o comportamento da curva quando
varia de
a
e (b) a curvatura
em função do comprimento de arco.
O conteúdo é geometria de curvas: derivadas paramétricas, comprimento de arco e curvatura.
O conteúdo é geometria de curvas: derivadas paramétricas, comprimento de arco e curvatura.
Passo 2
Primeiro notamos que
Logo o elemento de arco é
Escolhendo a origem do arco em
, temos
.
Passo 3
Para ver o comportamento quando
usamos o fato clássico das integrais de Fresnel:
E portanto
enquanto para
,
Ou seja, a curva parte assintoticamente de
, passa por
em
e aproxima-se de
quando
. É a espiral de Cornu (ou clotóide).
Passo 4
A inclinação do vetor tangente é
Como
, a curvatura é
Resposta
O gráfico é a espiral de Cornu que sai assintoticamente de
, passa em
e vai a
. A curvatura em função do comprimento de arco
é