Desenhar as curvas definidas pelas equações
x=integral0^t cos (1 / 2 pi t^2) d t, y=integral0^t sen(1 / 2 pi t^2) d t
Qual o comportamento da curva quando t varia desde -infty até +infty ? Calcular a curvatura k em função do comprimento do arco.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x(t)=integral0^tcos!l(tfracpi2,t^2r),dt, y(t)=integral0^tsin!l(tfracpi2,t^2r),dt,
e pede (a) o comportamento da curva quando t varia de -infty a +infty e (b) a curvatura kappa em função do comprimento de arco.
O conteúdo é geometria de curvas: derivadas paramétricas, comprimento de arco e curvatura.

Passo 2

Primeiro notamos que
x'(t)=cos!l(tfracpi2t^2r), y'(t)=sin!l(tfracpi2t^2r)
Logo o elemento de arco é
ds=raizx'(t)^2+y'(t)^2;dt =raizcos^2+sin^2;dt=dt
Escolhendo a origem do arco em t=0, temos s=t.

Passo 3

Para ver o comportamento quando ttopminfty usamos o fato clássico das integrais de Fresnel:
limtto+inftyintegral0^tcos!l(tfracpi2u^2r),du =limtto+inftyintegral0^tsin!l(tfracpi2u^2r),du =tfrac12
E portanto
l(x(t),y(t)r);longrightarrow; l(tfrac12,tfrac12r) quando tto+infty,
enquanto para tto-infty,
(x,y)to(-tfrac12,-tfrac12)
Ou seja, a curva parte assintoticamente de l(-tfrac12,-tfrac12r), passa por (0,0) em t=0 e aproxima-se de l(tfrac12,tfrac12r) quando tto+infty. É a espiral de Cornu (ou clotóide).

Passo 4

A inclinação do vetor tangente é
theta(t)=arctany'x'=arctan!l(tan(tfracpi2t^2)r) =tfracpi2,t^2
Como s=t, a curvatura é
kappa(s)=dthetads =ddtl(tfracpi2t^2r) =pi,t =pi,s

Resposta

O gráfico é a espiral de Cornu que sai assintoticamente de l(-tfrac12,-tfrac12r), passa em (0,0) e vai a l(tfrac12,tfrac12r). A curvatura em função do comprimento de arco s é
boxedkappa(s)=pi,s

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