Demonstrar que a fórmula da curvatura da curva
con-serva-se inalterada pela rotação dos eixus, e também pela mudança do parâmetro dado por
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a expressão da curvatura de uma curva paramétrica
permanece a mesma quando:
- giramos o sistema de eixos por um ângulo
, isto é, definimos
e 2) reparametrizamos trocando
por
via
com
.
Passo 2
Invariância pela rotação dos eixos. Sejam
Então
O numerador da curvatura em
é
Expandindo, todos os termos com
se cancelam, ficando
igual ao numerador original. Já o denominador é
Logo,
é invariante sob rotação.
Passo 3
Invariância pela reparametrização
,
. Definimos
Então
e de modo análogo para
. O numerador fica
pois os termos com
se anulam. O denominador é
Dividindo, aparece novamente
.
Resposta
A fórmula da curvatura
é invariante tanto pela rotação dos eixos quanto pela reparametrização
,
.