Demonstrar que a fórmula da curvatura da curva x=x(t), y=y(t) con-serva-se inalterada pela rotação dos eixus, e também pela mudança do parâmetro dado por l=varphi(tau), onde varphi^prime(tau)>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a expressão da curvatura de uma curva paramétrica
kappa(t)=x'(t),y''(t)-y'(t),x''(t)l(x'(t)^2+y'(t)^2r)^3/2
permanece a mesma quando:
  1. giramos o sistema de eixos por um ângulo theta, isto é, definimos
X=xcostheta - ysintheta, Y=xsintheta + ycostheta,
e 2) reparametrizamos trocando t por tau via
,t=varphi(tau) com varphi'(tau)>0.

Passo 2

Invariância pela rotação dos eixos. Sejam
X(t)=x(t)costheta - y(t)sintheta, Y(t)=x(t)sintheta + y(t)costheta
Então
X' = x'costheta - y'sintheta, X'' = x''costheta - y''sintheta,
Y' = x'sintheta + y'costheta, Y'' = x''sintheta + y''costheta
O numerador da curvatura em (X,Y) é
X',Y'' - Y',X'' =(x'costheta - y'sintheta)(x''sintheta + y''costheta) -(x'sintheta + y'costheta)(x''costheta - y''sintheta)
Expandindo, todos os termos com sinthetacostheta se cancelam, ficando
X',Y''-Y',X'' = x'y'' - y'x'',
igual ao numerador original. Já o denominador é
l(X'^2+Y'^2r)^3/2 =l((x'costheta - y'sintheta)^2 + (x'sintheta + y'costheta)^2r)^3/2 =l(x'^2+y'^2r)^3/2
Logo, kappa é invariante sob rotação.

Passo 3

Invariância pela reparametrização t=varphi(tau), varphi'>0. Definimos
tilde x(tau)=xl(varphi(tau)r), tilde y(tau)=yl(varphi(tau)r)
Então
dottilde x=dtilde xdtau=x'(varphi),varphi', ddottilde x=x''(varphi),(varphi')^2+x'(varphi),varphi'',
e de modo análogo para dottilde y,ddottilde y. O numerador fica
dottilde x,ddottilde y-dottilde y,ddottilde x =(varphi')^3l(x'y''-y'x''r),
pois os termos com varphi'' se anulam. O denominador é
l(dottilde x^2+dottilde y^2r)^3/2 =l((varphi')^2(x'^2+y'^2)r)^3/2 =(varphi')^3(x'^2+y'^2)^3/2
Dividindo, aparece novamente
kappa=(x'y''-y'x'')/(x'^2+y'^2)^3/2.

Resposta

A fórmula da curvatura
kappa(t)=x'(t),y''(t)-y'(t),x''(t)l(x'(t)^2+y'(t)^2r)^3/2
é invariante tanto pela rotação dos eixos quanto pela reparametrização t=varphi(tau), varphi'(tau)>0.

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