Uma equação em
é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de
por
e
por
. Por exemplo, a equação
é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
Passo 1
O enunciado fala de invariância de uma equação em
sob a mudança de coordenadas
Isto é uma translação do plano pelo vetor
. Queremos saber que simetria o gráfico de uma equação tem se for invariante sob essa translação.
Passo 2
Para dizer que a equação
é invariante, basta que, após substituir
e
, a forma da equação seja a mesma, ou seja,
Passo 3
Voltando às variáveis originais, isso significa
Passo 4
Em termos de gráfico: se
pertence ao conjunto
, então o ponto
também pertence. Logo, o gráfico se repete sobre si mesmo ao ser deslocado pelo vetor
.
Resposta
O gráfico de uma equação invariante pela mudança
é simétrico por translação ao longo do vetor
: sempre que um ponto pertence ao gráfico, o ponto deslocado em
também pertence.