Uma equação em x, y é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de x por x^prime e y por y^prime. Por exemplo, a equação x^2+y^2=1 é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
x=x^prime+1, y=y^prime+1

Passo 1

O enunciado fala de invariância de uma equação em (x,y) sob a mudança de coordenadas
x = x' + 1, y = y' + 1
Isto é uma translação do plano pelo vetor (1,1). Queremos saber que simetria o gráfico de uma equação tem se for invariante sob essa translação.

Passo 2

Para dizer que a equação
f(x,y)=0
é invariante, basta que, após substituir x = x'+1 e y = y'+1, a forma da equação seja a mesma, ou seja,
f(x'+1,y'+1)=0 Long<=ftrightarrow f(x',y')=0

Passo 3

Voltando às variáveis originais, isso significa
f(x,y)=0 Longrightarrow f(x-1,y-1)=0 Long<=ftrightarrow fl((x,y)+(1,1)r)=0

Passo 4

Em termos de gráfico: se (x,y) pertence ao conjunto (x,y)mid f(x,y)=0, então o ponto
(x,y) + (1,1) = (x+1,y+1)
também pertence. Logo, o gráfico se repete sobre si mesmo ao ser deslocado pelo vetor (1,1).

Resposta

O gráfico de uma equação invariante pela mudança x=x'+1,;y=y'+1 é simétrico por translação ao longo do vetor (1,1): sempre que um ponto pertence ao gráfico, o ponto deslocado em (1,1) também pertence.

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