Reduza à forma v=A sen u por uma translação adequada dos eixos e trace o gráfico:
y=3 sen x+4 cos x

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função
y = 3sen x + 4cos x
na forma
v = Asen u
através de uma translação dos eixos, e depois traçar o gráfico. O conteúdo é a soma de uma senóide e uma cosenóide transformada em única senóide com fase.

Passo 2

Primeiro encontramos a amplitude A e o ângulo de fase phi tais que
3sen x + 4cos x = Al(sen xcosphi + cos xsenphir) = Asen(x+phi)
A amplitude é
A = raiz3^2 + 4^2 = 5

Passo 3

Para que
sen xcosphi + cos xsenphi
coeficiente de sen x seja 3/A e de cos x seja 4/A, impomos
cosphi = 35, senphi = 45,
logo
phi = arctan!l(tfrac43r)

Passo 4

Fazendo a translação horizontal
u = x + phi,
e deixando
v = y,
obtemos no novo sistema de eixos
v = 5sen u

Passo 5

O gráfico de v=5sen u é a senoide-padrão com amplitude 5 e período 2pi. Os pontos notáveis em (u,v) são:
em u=0, v=0;
em u=tfracpi2, v=5;
em u=pi, v=0;
em u=tfrac3pi2, v=-5;
em u=2pi, v=0.
Voltando a x, como x = u - phi, os mesmos pontos ocorrem em
x = -phi,;tfracpi2-phi,;pi-phi,;tfrac3pi2-phi,;2pi-phi
O traçado em xy é, portanto, uma senoide de amplitude 5, período 2pi e defasagem -phi.

Resposta

Definindo
u = x + arctan!l(tfrac43r), v = y,
fica
v = 5sen u,
e o gráfico é a senoide de amplitude 5, período 2pi e fase inicial em x=-arctan(4/3).

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