Uma equação em
é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de
por
e
por
. Por exemplo, a equação
é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
Tôdas as translações da forma
Tôdas as translações da forma
Passo 1
O enunciado pede para identificar que tipo de curva tem uma equação em
que permanece a mesma (exceto trocar
por
e
por
) quando se faz qualquer translação horizontal
ou seja, invariância sob todos os deslocamentos de
ao longo do eixo
.
Passo 2
Suponha que a curva seja dada por
Invariância sob a translação significa que, para todo
, trocar
por
e
por
leva à mesma forma de equação:
Passo 3
Para que isso valha para todo
, a função
não pode realmente depender de
, pois se dependesse, a mudança
alteraria o valor de
. Logo necessariamente
isto é, a equação original só envolve
.
Passo 4
Assim, a equação da curva fica na forma
onde as soluções
são constantes independentes de
.
Passo 5
Geometricamente, isso significa que, para cada valor
que satisfaz
, toda reta horizontal
faz parte do gráfico.
Resposta
O gráfico é uma união de retas horizontais
, isto é, linhas paralelas ao eixo
.