Uma equação em x, y é dita invariante em relação a uma particular mudança de coordenadas se à nova equação é a mesma exceto pela substituição de x por x^prime e y por y^prime. Por exemplo, a equação x^2+y^2=1 é invariante em relação a qualquer rotação de eixos. Para cada uma das seguintes mudanças de coordenadas, que aspectos especiais tem um gráfico se sua equação é invariante por esta mudança (ou mudanças) de coordenadas?
Tôdas as translações da forma x=x^prime+h, y^prime=y

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de curva tem uma equação em (x,y) que permanece a mesma (exceto trocar x por x' e y por y') quando se faz qualquer translação horizontal
x = x' + h, y = y'!,
ou seja, invariância sob todos os deslocamentos de h ao longo do eixo x.

Passo 2

Suponha que a curva seja dada por
F(x,y)=0
Invariância sob a translação significa que, para todo h, trocar x por x'+h e y por y' leva à mesma forma de equação:
F(x'+h,y')=0Long<=ftrightarrow F(x',y')=0

Passo 3

Para que isso valha para todo h, a função F não pode realmente depender de x, pois se dependesse, a mudança xmapsto x+h alteraria o valor de F. Logo necessariamente
F(x,y)=f(y),
isto é, a equação original só envolve y.

Passo 4

Assim, a equação da curva fica na forma
f(y)=0,
onde as soluções y=y0 são constantes independentes de x.

Passo 5

Geometricamente, isso significa que, para cada valor y0 que satisfaz f(y0)=0, toda reta horizontal
y=y0
faz parte do gráfico.

Resposta

O gráfico é uma união de retas horizontais y=constante, isto é, linhas paralelas ao eixo x.

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