Reduza à forma comum por uma translação de eixos e trace o gráfico:
4 x^2+y^2+8 x-6 y+9=0

Passo 1

Estamos diante da equação da cónica
4x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0,
e queremos reduzi-la à sua forma canónica por translação de eixos, identificando o tipo de cónica e depois traçar o seu gráfico. O conteúdo usado é completar quadrados e reconhecer uma elipse centrada num ponto deslocado.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
4x^2 + 8x + y^2 - 6y + 9 = 0 ;Longrightarrow; 4l(x^2 + 2xr) + l(y^2 - 6yr) + 9 = 0
Agora,
x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1, y^2 - 6y = (y-3)^2 - 9,
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4l((x+1)^2 - 1r) + l((y-3)^2 - 9r) + 9 = 0 ;Longrightarrow; 4(x+1)^2 - 4 + (y-3)^2 - 9 + 9 = 0 ;Longrightarrow; 4(x+1)^2 + (y-3)^2 = 4

Passo 3

Para eliminar o termo misto e os termos lineares, fazemos a translação de eixos
X = x + 1, Y = y - 3
Nesse sistema (X,Y) a equação passa a ser
4X^2 + Y^2 = 4

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 4, obtemos a forma canónica
X^21 + Y^24 = 1
Isto identifica uma elipse de centro em (X,Y)=(0,0), ou seja, em (x,y)=(-1,3) no sistema original. Os semieixos são
a = 1(eixo horizontal), b = 2(eixo vertical)

Passo 5

O gráfico é uma elipse centrada em (-1,3) com vértices:
(-1 pm 1,,3) = (-2,3) e (0,3), (-1,,3pm 2) = (-1,1) e (-1,5)
Os eixos principais estão alinhados com os eixos de coordenadas originais.

Resposta

A forma canónica é
(x+1)^21 ;+;(y-3)^24 ;=;1,
elipse de centro em (-1,3), semieixos a=1 (horizontal) e b=2 (vertical), com vértices em (-2,3), (0,3), (-1,1) e (-1,5).

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