Se o erro envolvido na medição de certos instrumentos eletrônicos tem uma distribuição de probabilidade:
(a) Esboce o gráfico de
f .
(b) Calcule
P(x>0) e
P(-1<x<1) .
(c) Qual é a esperança e
sigmax ?
(b) Calcule
(c) Qual é a esperança e
Passo 1
O enunciado define uma variável aleatória contínua
onde foi dado seja de fato uma densidade devemos ter
O conteúdo envolve normalização de densidade, simetria, cálculo de probabilidades por integração, esperança e desvio-padrão por momentos.
Passo 2
Calculemos
k impondo
integral-2^2f(x),dx=1 . Primeiro,
Logo
Passo 3
Para esboçar
f , note que é uma parábola invertida no intervalo
[-2,2] , com zeros em
x=pm2 e valor máximo em
x=0 :
O gráfico é, portanto,
uma curva suave que parte de( -2,0) , sobe até
(0,0,3) e desce até
(2,0) .
uma curva suave que parte de
Passo 4
Como
f é simétrica em torno de
0 , temos
Passo 5
Para
P(-1<X<1) :
E
Assim
Passo 6
A esperança de
X é
Por simetria ímpar de
xcdot(4-x^2) em
[-2,2] , concluímos
Passo 7
O segundo momento centrado é
Calculemos os integras:
logo
Então
e o desvio-padrão é
Resposta
(a) Gráfico de uma parábola invertida em
[-2,2] que vale
0 em
x=pm2 e atinge
f(0)=0,3 .
(b)P(X>0)=0,5 e
P(-1<X<1)=0,55 .
(c)E[X]=0 e
sigmax=0,8 .
(b)
(c)