Se o erro envolvido na medição de certos instrumentos eletrônicos tem uma distribuição de probabilidade:
f(x)= 0.00123(4-x^2) & se -2 <= x <= 2 0 & outro caso
(a) Esboce o gráfico de f.
(b) Calcule P(x>0) e P(-1<x<1).
(c) Qual é a esperança e sigmax ?

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória contínua
onde foi dado seja de fato uma densidade devemos ter
O conteúdo envolve normalização de densidade, simetria, cálculo de probabilidades por integração, esperança e desvio-padrão por momentos.

Passo 2

Calculemos k impondo integral-2^2f(x),dx=1. Primeiro,
integral-2^2(4 - x^2),dx = l[4x - tfracx^33r]-2^2 = l(8 - tfrac83r)-l(-8 + tfrac83r) = 403
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1 = kcdot403 Longrightarrow k = 340 = 0,075

Passo 3

Para esboçar f, note que é uma parábola invertida no intervalo [-2,2], com zeros em x=pm2 e valor máximo em x=0:
f(0)=k,(4-0)=340cdot 4=0,3
O gráfico é, portanto,
uma curva suave que parte de ( -2,0), sobe até (0,0,3) e desce até (2,0).

Passo 4

Como f é simétrica em torno de 0, temos
P(X>0)=12

Passo 5

Para P(-1<X<1):
P(-1<X<1) = integral-1^1k,(4 - x^2),dx = 340integral-1^1(4 - x^2),dx
E
integral-1^1(4 - x^2),dx = l[4x - tfracx^33r]-1^1 = l(4 - tfrac13r)-l(-4 + tfrac13r) = 223
Assim
P(-1<X<1) = 340cdot223 = 2240 = 0,55

Passo 6

A esperança de X é
E[X] = integral-2^2x,f(x),dx
Por simetria ímpar de xcdot(4-x^2) em [-2,2], concluímos
E[X]=0

Passo 7

O segundo momento centrado é
Var(X) = integral-2^2x^2,f(x),dx = kintegral-2^2x^2(4 - x^2),dx
Calculemos os integras:
integral-2^2x^2,dx = 163, integral-2^2x^4,dx = 645,
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integral-2^2x^2(4 - x^2),dx = 4cdot163 - 645 = 643 - 645 = 12815
Então
Var(X) = kcdot12815 = 340cdot12815 = 0,64,
e o desvio-padrão é
sigmax = raiz0,64 = 0,8

Resposta

(a) Gráfico de uma parábola invertida em [-2,2] que vale 0 em x=pm2 e atinge f(0)=0,3.
(b) P(X>0)=0,5 e P(-1<X<1)=0,55.
(c) E[X]=0 e sigmax=0,8.

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