Se em três cidades, os ingressos seguem as seguintes distribuições de Pareto para alpha=3, beta=1200, alpha=4, beta=1300 e alpha=5, beta=1500, respectivamente.
(a) Qual é o ingresso medio de cada cidade e o desvio padrão?
(b) Em qual cidade é mais probavel que uma pessoa ganha mais de 2000 u.m?
(c) Em qual cidade é mais probavel que uma pessoa ganha entre 2000 e 3000?

Passo 1

O enunciado diz que em três cidades as rendas seguem distribuições de Pareto com parâmetros:
cidade 1: alpha=3, beta=1200;
cidade 2: alpha=4, beta=1300;
cidade 3: alpha=5, beta=1500.
Precisamos calcular em cada caso (a) a média e o desvio-padrão, (b) Pr(X>2000) e (c) Pr(2000<X<3000).

Passo 2

Para uma variável XsimPareto(alpha,beta) com alpha>2, valem as fórmulas
E[X]=alpha,betaalpha-1,
Var(X) =beta^2,alpha(alpha-1)^2(alpha-2),
e o desvio-padrão é sigma=raizVar(X).
Além disso, para x>=beta,
Pr(X>x)=l(betaxr)^alpha

Passo 3

Aplicando em cada cidade:
cidade 1 ( alpha=3,beta=1200)
E[X] =3cdot12003-1 =36002 =1800,
Var(X) =1200^2cdot3(3-1)^2(3-2) =1440000cdot34cdot1 =1080000, sigmaapproxraiz1080000approx1038,9
cidade 2 ( alpha=4,beta=1300)
E[X] =4cdot13004-1 =52003 approx1733,33,
Var(X) =1300^2cdot4(4-1)^2(4-2) =1690000cdot49cdot2 approx375555,6, sigmaapproxraiz375555,6approx613,0
cidade 3 ( alpha=5,beta=1500)
E[X] =5cdot15005-1 =75004 =1875,
Var(X) =1500^2cdot5(5-1)^2(5-2) =2250000cdot516cdot3 =234375, sigmaapproxraiz234375approx484,1

Passo 4

Agora Pr(X>2000)=l(beta/2000r)^alpha:
cidade 1: ,(1200/2000)^3=0,6^3=0,216.
cidade 2: ,(1300/2000)^4=0,65^4approx0,1785.
cidade 3: ,(1500/2000)^5=0,75^5approx0,2373.

Passo 5

Comparando Pr(X>2000):
cidade 1: 0,216, cidade 2: 0,1785, cidade 3: 0,2373.
A maior probabilidade é na cidade 3.

Passo 6

Para Pr(2000<X<3000)=Pr(X>2000)-Pr(X>=3000) usamos
Pr(X>y)=(beta/y)^alpha. Então
cidade 1:
0,216-(1200/3000)^3 =0,216-0,4^3 =0,216-0,064 =0,152
cidade 2:
0,1785-(1300/3000)^4 approx0,1785-0,4333^4 approx0,1785-0,0353 approx0,1432
cidade 3:
0,2373-(1500/3000)^5 =0,2373-0,5^5 =0,2373-0,03125 approx0,2060

Passo 7

Comparando Pr(2000<X<3000):
cidade 1: 0,152, cidade 2: 0,1432, cidade 3: 0,2060.
A maior probabilidade também é na cidade 3.

Resposta

(a)
cidade 1: média 1800, desvio 1038,9.
cidade 2: média 1733,3, desvio 613,0.
cidade 3: média 1875, desvio 484,1.
(b) cidade 3
(c) cidade 3

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