Se o tempo utilizando um computador com time-sharing segue uma distribuição gama com média de20 minutos e variância de 80 minutos, pede-se:
(a) Determine nu e lambda.
(b) Qual é a probabilidade de um usuário utilizar o computador no máximo 20 minutos?
(c) Qual é a probabilidade de um usuário utilizar o computador entre 20 e 40 minutos?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo X de uso do computador segue uma distribuição Gama com média 20 minutos e variância 80 minutos. Vamos adotar a parametrização pela forma
fX(x) =lambda^nuGamma(nu),x^nu-1e^-lambda x, x>0,
para a qual
E[X]=nulambda, Var(X)=nulambda^2
Nosso objetivo é (a) determinar nu e lambda, (b) calcular Pr(X<=20) e (c) calcular Pr(20<X<=40).

Passo 2

Usamos as fórmulas da média e da variância:
nulambda=20, nulambda^2=80
Dividindo a segunda pela primeira,
nu/lambda^2nu/lambda =1lambda =8020=4 Longrightarrow lambda=tfrac14=0,25
Substituindo em nu/lambda=20,
nu=20cdotlambda=20cdot0,25=5

Passo 3

Para Pr(X<=20) podemos usar o fato de que, para nu=5 inteiro, X é Erlang de ordem 5 com taxa lambda=0,25. Então
Pr(X<=20) =1-sumi=0^4e^-lambdacdot20(lambdacdot20)^ii! =1-e^-5sumi=0^45^ii!
Calculando numericamente, e^-5approx0,0067379 e
sumi=0^45^i/i!=65,375, obtemos
Pr(X<=20)approx1-65,375cdot0,0067379approx0,5595

Passo 4

De modo análogo,
Pr(X<=40) =1-e^-lambdacdot40sumi=0^4(lambdacdot40)^ii! =1-e^-10sumi=0^410^ii!
Aqui e^-10approx0,0000453999 e sumi=0^410^i/i!=644,3334, logo
Pr(X<=40)approx1-644,3334cdot0,0000453999approx0,9707. Então
Pr(20<X<=40) =Pr(X<=40)-Pr(X<=20) approx0,9707-0,5595=0,4112

Resposta

(a) nu=5, lambda=0,25.
(b) Pr(X<=20)=1-e^-5sumi=0^45^ii!approx0,5595.
(c) Pr(20<X<=40)approx0,4112.

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