Esboçando triângulos, reescreva as expressões abaixo em função de x.
c) cos (arctan (x2))

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
cos!l(arctanl(tfracx2r)r)
apenas em função de x, usando a ideia de esboçar um triângulo retângulo que represente um ângulo theta tal que theta=arctan(x/2). O conteúdo aqui é composição de função trigonométrica inversa com função trigonométrica, resolvida por meio de triângulo retângulo.

Passo 2

Defina theta = arctanl(tfracx2r). Por definição de arco-tangente,
tantheta = x2
Num triângulo retângulo associamos ao ângulo theta um cateto oposto de comprimento x e um cateto adjacente de comprimento 2. Pela relação de Pitágoras, a hipotenusa vale
raizx^2 + 2^2 = raizx^2 + 4

Passo 3

Em termos desse triângulo,
costheta = cateto adjacentehipotenusa = 2raizx^2 + 4
Como theta = arctan(x/2), segue-se que
cos!l(arctanl(tfracx2r)r) = 2raizx^2 + 4

Resposta

2raizx^2 + 4

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