Esboce algumas das curvas de nível associadas com a função indicada.
f(x, y)=e^y-x^2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
f(x,y)=e^,y - x^2
O conteúdo aqui é o estudo de curvas de nível (ou níveis) de uma função de duas variáveis: dadas constantes k, a curva de nível k é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.

Passo 2

Começamos definindo a equação de nível k:
f(x,y)=k Longrightarrow e^,y - x^2 = k

Passo 3

Para resolver para y, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados (lembrando que k>0 pois e^cdot>0):
y - x^2 = ln(k) Longrightarrow y = x^2 + ln(k)
Logo, cada curva de nível é uma parábola de concavidade para cima, com vértice em l(0,ln(k)r).

Passo 4

Como k varia em (0,infty), os vértices das parábolas também variam verticalmente. Para visualizar, escolhemos alguns valores típicos de k:

Passo 5

Por exemplo,
k &= 1/ e Longrightarrow y = x^2 - 1, k &= 1 Longrightarrow y = x^2, k &= e Longrightarrow y = x^2 + 1, k &= e^2 Longrightarrow y = x^2 + 2
Cada uma dessas curvas é uma parábola deslocada para cima conforme ln(k).

Passo 6

No esboço gráfico, trace várias parábolas de concavidade para cima, com vértices em (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2). À medida que k cresce, a parábola sobe. Essas são as curvas de nível de f.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=e^y-x^2 são dadas por
y = x^2 + ln(k),
com k>0. Exemplos:
y = x^2-1, y = x^2, y = x^2+1, y = x^2+2
No plano xy, são parábolas de concavidade para cima cujo vértice está em l(0,ln(k)r).

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