Esboce algumas das curvas de nível associadas com a função indicada.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
O conteúdo aqui é o estudo de curvas de nível (ou níveis) de uma função de duas variáveis: dadas constantes
, a curva de nível
é o conjunto de pontos
tais que
.
Passo 2
Começamos definindo a equação de nível
:
Passo 3
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados (lembrando que
pois
):
Logo, cada curva de nível é uma parábola de concavidade para cima, com vértice em
.
Passo 4
Como
varia em
, os vértices das parábolas também variam verticalmente. Para visualizar, escolhemos alguns valores típicos de
:
Passo 5
Por exemplo,
Cada uma dessas curvas é uma parábola deslocada para cima conforme
.
Passo 6
No esboço gráfico, trace várias parábolas de concavidade para cima, com vértices em
,
,
,
. À medida que
cresce, a parábola sobe. Essas são as curvas de nível de
.
Resposta
As curvas de nível de
são dadas por
com
. Exemplos:
No plano
, são parábolas de concavidade para cima cujo vértice está em
.