Esboce algumas das curvas de nível associadas com a função indicada.
f(x, y)=tg^-1(y-x)

Passo 1

O enunciado pede para traçarmos curvas de nível da função
f(x,y)=tg^-1(y-x)
Lembra que curva de nível para um valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c
Aqui, vamos usar a propriedade de inversa da tangente para reescrever a equação da curva de nível.

Passo 2

Impondo
tg^-1(y-x)=c,
aplicamos a tangente dos dois lados (já que a tangente é inversa da tg^-1 em (-tfracpi2,tfracpi2)), obtendo
y-x=tan(c)
Definimos então
k=tan(c),
e a curva de nível vira uma reta.

Passo 3

Cada curva de nível é
y = x + k,
uma família de retas paralelas de coeficiente angular 1 e coeficiente linear k. À medida que c varia em (-tfracpi2,tfracpi2), k=tan(c) assume todo valor real.

Passo 4

Para termos algumas curvas de referência, escolhemos valores típicos de c:
c=-tfracpi4,,0,,tfracpi6,,tfracpi4.
Isso dá
k1=tanl(-tfracpi4r)=-1, k2=tan(0)=0, k3=tanl(tfracpi6r)=tfrac1raiz3, k4=tanl(tfracpi4r)=1

Passo 5

No plano xy, traçamos as retas
y=x-1, y=x, y=x+tfrac1raiz3, y=x+1
Cada uma corresponde às curvas de nível
tg^-1(y-x)=-tfracpi4,,0,,tfracpi6,,tfracpi4, respectivamente.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=tg^-1(y-x) são as retas
y = x + tan(c),
para cada cin(-tfracpi2,tfracpi2). Em particular, para
c=-tfracpi4,,0,,tfracpi6,,tfracpi4
temos as retas
y=x-1, y=x, y=x+tfrac1raiz3, y=x+1

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