Esboce algumas das curvas de nível associadas com a função indicada.
Passo 1
O enunciado pede para traçarmos curvas de nível da função
Lembra que curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
tais que
Aqui, vamos usar a propriedade de inversa da tangente para reescrever a equação da curva de nível.
Passo 2
Impondo
aplicamos a tangente dos dois lados (já que a tangente é inversa da
em
), obtendo
Definimos então
e a curva de nível vira uma reta.
Passo 3
Cada curva de nível é
uma família de retas paralelas de coeficiente angular
e coeficiente linear
. À medida que
varia em
,
assume todo valor real.
Passo 4
Para termos algumas curvas de referência, escolhemos valores típicos de
:
.
Isso dá
Isso dá
Passo 5
No plano
, traçamos as retas
Cada uma corresponde às curvas de nível
, respectivamente.
Resposta
As curvas de nível de
são as retas
para cada
. Em particular, para
temos as retas
temos as retas