Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam.
*6. y=2raizx+2, x+3 y-5=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos esboçar as curvas
y = 2raizx+2
e
x + 3y - 5 = 0
ou seja y = 5 - x3, e calcular a área da região limitada por essas duas curvas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo
5 - x3 ;=;2raizx+2
Multiplicando por 3raizx+2 e isolando:
(5 - x),raizx+2 = 6 Longrightarrow (5 - x)^2 (x+2) = 36
Desenvolvendo e simplificando obtém-se o polinômio
x^3 - 8x^2 + 5x + 14 = 0,
cuja raiz real no domínio x>=-2 são x=-1 e x=2.

Passo 3

Calcular as ordenadas correspondentes na reta y=(5-x)/3:
em x=-1: y=5-(-1)3=2, em x=2: y=5-23=1
Logo as interseções válidas são (-1,2) e (2,1). Num esboço rápido, para -1<= x<=2 a reta está acima da curva hiperbólica.

Passo 4

Montar a integral da área como
A = integralx=-1^2l[underbracetfrac5 - x3reta ;-;underbracetfrac2raizx+2curvar],dx
Separamos:
integral-1^25-x3,dx ;=;13l[5x - tfracx^22r]-1^2, integral-1^22raizx+2,dx ;=;2integral-1^2(x+2)^-tfrac12,dx ;=;4l[raizx+2r]-1^2

Passo 5

Calculando cada parte:
13l[5x - tfracx^22r]-1^2 =13l[(10-2)-(-5-tfrac12)r] =13l[8 -(-tfrac112)r] =13cdot272 =92,
4l[raizx+2r]-1^2 =4l(2 - 1r) =4
Então
A = 92 - 4 = 9 - 82 = 12

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é tfrac12.

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