3-4 Esboce o gráfico da função.
(f(x, y)=x{2}+(y-2){2})
(f(x, y)=x{2}+(y-2){2})
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
que é uma superfície em
dada por
O conteúdo aqui é identificação e desenho de um paraboloide circular. Vamos usar curvas de nível e seções transversais para entender a forma.
Passo 2
Reconhecemos que
é soma de quadrados deslocados em
. Portanto,
e o ponto mais baixo (vértice) ocorre quando
isto é, no ponto
. A superfície abre-se no sentido positivo de
.
Passo 3
Curvas de nível: para cada constante
, temos
que são círculos de centro
no plano
e raio
. Isso mostra que, à medida que
cresce, as seções horizontais são círculos de raio maior, sempre centrados em
.
Passo 4
Seções transversais verticais:
- Plano
:
uma parábola em
com vértice em
.
2. Plano :
2. Plano
outra parábola em
, deslocada para cima em
por
e centrada em
.
Essas parábolas, girando em torno de uma “reta vertical” deslocada em
, formam o paraboloide.
Passo 5
Com base nas curvas de nível e seções, esboçamos um paraboloide circular cujo eixo é paralelo ao eixo
, mas cujo vértice está em
. O contorno no plano
é um único ponto
, e para
aparecem círculos de raio
.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide circular de vértice em
que se abre para cima, com curvas de nível dadas por círculos centrados em
de raio
.