3-4 Esboce o gráfico da função.
(f(x, y)=x{2}+(y-2){2})

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x,y)=x^{2}+(y-2)^{2},
que é uma superfície em \mathbb{R}^3 dada por
z = x^{2}+(y-2)^{2}.
O conteúdo aqui é identificação e desenho de um paraboloide circular. Vamos usar curvas de nível e seções transversais para entender a forma.

Passo 2

Reconhecemos que f é soma de quadrados deslocados em y. Portanto, z\ge0 e o ponto mais baixo (vértice) ocorre quando
x=0 \quad\text{e}\quad y-2=0,
isto é, no ponto (0,2,0). A superfície abre-se no sentido positivo de z.

Passo 3

Curvas de nível: para cada constante c\ge0, temos
x^{2}+(y-2)^{2}=c,
que são círculos de centro (0,2) no plano z=c e raio \sqrt{c}. Isso mostra que, à medida que z cresce, as seções horizontais são círculos de raio maior, sempre centrados em (0,2).

Passo 4

Seções transversais verticais:
  1. Plano y=k:
z = x^{2}+(k-2)^{2},
uma parábola em x com vértice em (0,(k-2)^{2}).
2. Plano x=k:
z = k^{2}+(y-2)^{2},
outra parábola em y, deslocada para cima em z por k^{2} e centrada em y=2.
Essas parábolas, girando em torno de uma “reta vertical” deslocada em y, formam o paraboloide.

Passo 5

Com base nas curvas de nível e seções, esboçamos um paraboloide circular cujo eixo é paralelo ao eixo z, mas cujo vértice está em (0,2,0). O contorno no plano z=0 é um único ponto (0,2), e para z>0 aparecem círculos de raio \sqrt{z}.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=x^{2}+(y-2)^{2} é um paraboloide circular de vértice em (0,2,0) que se abre para cima, com curvas de nível dadas por círculos centrados em (0,2) de raio \sqrt{z}.

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