Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
devendo-se identificar as raízes, os extremos relativos e o comportamento nos limites
. Para isso vamos (i) achar as raízes, (ii) determinar o coeficiente dirigente e o comportamento nas extremidades, (iii) calcular
para localizar os extremos e (iv) avaliar
nesses pontos para classificar os extremos.
Passo 2
Para encontrar as raízes resolvemos cada fator igual a zero:
Logo, as raízes são
e
.
Passo 3
Para o comportamento nas extremidades basta ver o termo de maior grau. Expande-se mentalmente ou nota-se que cada fator contribui com um
, de modo que
Como o coeficiente de
é
, temos
Passo 4
Derivamos
. É cômodo usar a forma expandida
Então
Para achar os pontos críticos resolvemos
cuja solução é
Passo 5
Chamemos
Avalia-se
e
usando a forma fatorada:
Passo 6
Com tudo isso em mãos, o esboço do gráfico é um cuboide invertido nas pontas:
– Corta o eixo em
.
– Cresce de (quando
) até o mínimo em
.
– Sobe até o máximo em e depois decresce para
quando
.
– Corta o eixo
– Cresce de
– Sobe até o máximo em