Esboce o gráfico da função, de modo que seja possível visualizar seus extremos e raízes. Descreva o comportamento da função nos extremos do domínio.
f(x)=(2 x-3)(4-x)(x+1)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x) = (2x - 3)\,(4 - x)\,(x + 1)
devendo-se identificar as raízes, os extremos relativos e o comportamento nos limites x\to\pm\infty. Para isso vamos (i) achar as raízes, (ii) determinar o coeficiente dirigente e o comportamento nas extremidades, (iii) calcular f'(x) para localizar os extremos e (iv) avaliar f nesses pontos para classificar os extremos.

Passo 2

Para encontrar as raízes resolvemos cada fator igual a zero:
2x - 3 = 0 \implies x = \tfrac32,
4 - x = 0 \implies x = 4,
x + 1 = 0 \implies x = -1.
Logo, as raízes são \,-1,\;\tfrac32 e 4.

Passo 3

Para o comportamento nas extremidades basta ver o termo de maior grau. Expande-se mentalmente ou nota-se que cada fator contribui com um x, de modo que
f(x)\sim (2x)\,(-x)\,(x) = -2x^3 \quad\text{quando \(\lvert x\rvert\) é grande.}é
Como o coeficiente de x^3 é -2, temos
\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.

Passo 4

Derivamos f. É cômodo usar a forma expandida
f(x) = -2x^3 + 9x^2 - x - 12.
Então
f'(x) = -6x^2 + 18x - 1.
Para achar os pontos críticos resolvemos
-6x^2 + 18x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6x^2 - 18x + 1 = 0
cuja solução é
x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 24}}{12} = \frac{18 \pm \sqrt{300}}{12} = \frac{9 \pm 5\sqrt{3}}{6}.

Passo 5

Chamemos
x_1 = \frac{9 - 5\sqrt{3}}{6}\approx 0{,}057, \quad x_2 = \frac{9 + 5\sqrt{3}}{6}\approx 2{,}943.
Avalia-se f(x_1) e f(x_2) usando a forma fatorada:
f(x_1)\approx -12{,}04 \quad(\text{mínimo relativo}), \qquad f(x_2)\approx +12{,}04 \quad(\text{máximo relativo}).íá

Passo 6

Com tudo isso em mãos, o esboço do gráfico é um cuboide invertido nas pontas:
– Corta o eixo x em -1,\;1,5,\;4.
– Cresce de +\infty (quando x\to-\infty) até o mínimo em \bigl(x_1,f(x_1)\bigr).
– Sobe até o máximo em \bigl(x_2,f(x_2)\bigr) e depois decresce para -\infty quando x\to+\infty.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty; raízes em x=-1,\;\tfrac32,\;4; mínimo em \bigl(\tfrac{9-5\sqrt3}{6},\,-12{,}04\bigr) e máximo em \bigl(\tfrac{9+5\sqrt3}{6},\,12{,}04\bigr).

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