Esboce o gráfico da função polinomial e localize seus extremos locais e raízes.
f(x)=-x^{4}+2 x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de f(x)=-x^{4}+2x e a localização de suas raízes e extremos locais. Trata-se de um polinômio de quarto grau, logo usaremos (1) resolução da equação f(x)=0 para achar as raízes, (2) cálculo de f'(x) e f''(x) para determinar pontos críticos e testar concavidade, e (3) análise de monotonicidade e comportamento em x\to\pm\infty para o esboço.

Passo 2

Para achar as raízes resolvemos
f(x)=0\;\Longrightarrow\;-x^{4}+2x=0
Fatorando,
-x^{4}+2x = -x\bigl(x^{3}-2\bigr)=0
Logo as raízes reais são
x=0 \quad\text{e}\quad x^{3}=2\;\Longrightarrow\;x=\sqrt[3]{2}\approx1{,}26.
Não há outras raízes reais.

Passo 3

Calculamos a derivada para achar extremos locais:
f'(x)=-4x^{3}+2,
f'(x)=0\;\Longrightarrow\;x^{3}=\tfrac12 \;\Longrightarrow\;x=2^{-1/3}\approx0{,}79.
A segunda derivada é
f''(x)=-12x^{2}.
Em x=2^{-1/3} temos f''(2^{-1/3})=-12\,(2^{-2/3})<0, logo esse ponto é um máximo local. O valor de f ali é
f\bigl(2^{-1/3}\bigr) =-\bigl(2^{-1/3}\bigr)^{4}+2\cdot2^{-1/3} =-2^{-4/3}+2^{2/3} =3\cdot2^{-4/3}\approx1{,}19.
Não há outros pontos críticos, portanto não há mínimos locais.

Passo 4

Analisando o sinal de f'(x):
  • Para x<2^{-1/3}, f'(x)>0 (função crescente).
  • Para x>2^{-1/3}, f'(x)<0 (função decrescente).
    E como \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty, o gráfico tem o formato de uma “colina” única: começa em -\infty quando x\to-\infty, cresce passando pela raiz em (0,0), atinge o máximo em \bigl(2^{-1/3},3\cdot2^{-4/3}\bigr), depois decresce cortando novamente o eixo em \bigl(\sqrt[3]{2},0\bigr) e tende a -\infty.

Resposta

Raízes: x=0 e x=\sqrt[3]{2}.
Extremo local: máximo em x=2^{-1/3} com f(2^{-1/3})=3\cdot2^{-4/3}.
Não há mínimos locais.

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