Esboce o gráfico da função polinomial e localize seus extremos locais e raízes.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
e a localização de suas raízes e extremos locais. Trata-se de um polinômio de quarto grau, logo usaremos (1) resolução da equação
para achar as raízes, (2) cálculo de
e
para determinar pontos críticos e testar concavidade, e (3) análise de monotonicidade e comportamento em
para o esboço.
Passo 2
Para achar as raízes resolvemos
Fatorando,
Logo as raízes reais são
Não há outras raízes reais.
Passo 3
Calculamos a derivada para achar extremos locais:
A segunda derivada é
Em
temos
, logo esse ponto é um máximo local. O valor de
ali é
Não há outros pontos críticos, portanto não há mínimos locais.
Passo 4
Analisando o sinal de
:
- Para
, (função crescente). - Para
, (função decrescente).
E como, o gráfico tem o formato de uma “colina” única: começa em quando , cresce passando pela raiz em , atinge o máximo em , depois decresce cortando novamente o eixo em e tende a .
Resposta
Raízes:
e
.
Extremo local: máximo em com
.
Não há mínimos locais.
Extremo local: máximo em
Não há mínimos locais.