Esboce os gráficos das funções abaixo:
j) f(x)=2 x^3

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=2x^3,
que é um polinômio de grau 3. Para esboçar, vamos precisar de domínio, interceptos, monotonicidade, concavidade e comportamento nos extremos.

Passo 2

Dominio e interceptos:
— O domínio é todo R.
— Intercepto com o eixo y: f(0)=2cdot0^3=0.
— Raiz (intercepto com o eixo x): 2x^3=0implies x=0.
Logo, a curva passa pela origem (0,0) e não corta os eixos em nenhum outro ponto.

Passo 3

Monotonicidade:
Calculemos a derivada
f'(x)=ddx(2x^3)=6x^2
Como 6x^2>=0 para todo x e só é zero em x=0, concluímos que f é crescente em todo R (é estritamente crescente, pois em torno de 0 não há troca de sinal de f').

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão:
A segunda derivada é
f''(x)=ddx(6x^2)=12x
— Para x<0, f''(x)<0: concavidade para baixo.
— Para x>0, f''(x)>0: concavidade para cima.
Em x=0 muda a concavidade, logo há ponto de inflexão em (0,0).

Passo 5

Comportamento nos extremos:
— Quando xto+infty, f(x)=2x^3to+infty.
— Quando xto-infty, f(x)=2x^3to-infty.
Não há assíntotas; a curva sobe indefinidamente à direita e desce indefinidamente à esquerda.

Passo 6

Pontos auxiliares para guiar o esboço:
x=1implies f(1)=2.
x=-1implies f(-1)=-2.
Esses pontos estão na curva e ajudam a dar forma ao “S” característico.

Passo 7

Construção do esboço:
— Comece em x<0 com concavidade para baixo, passando por (-1,-2).
— No ponto (0,0) há inflexão e a curva muda para concavidade para cima.
— Para x>0 segue crescente e convexa, passando por (1,2).
— O gráfico é simétrico ímpar em relação à origem (reflexão de 180^circ).

Resposta

O esboço de f(x)=2x^3 é uma curva em forma de “S” que:
— Passa pela origem (0,0).
— Está abaixo do eixo x para x<0, com concavidade para baixo, passando por (-1,-2).
— Muda de concavidade em (0,0) e fica acima do eixo x para x>0, com concavidade para cima, passando por (1,2).
— Sobe indefinidamente à direita e desce indefinidamente à esquerda, sendo crescente em todo R.

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