Esboce os gráficos das funções abaixo:
j)
j)
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
que é um polinômio de grau 3. Para esboçar, vamos precisar de domínio, interceptos, monotonicidade, concavidade e comportamento nos extremos.
Passo 2
Dominio e interceptos:
— O domínio é todo .
— Intercepto com o eixo :
.
— Raiz (intercepto com o eixo ):
.
Logo, a curva passa pela origem e não corta os eixos em nenhum outro ponto.
— O domínio é todo
— Intercepto com o eixo
— Raiz (intercepto com o eixo
Logo, a curva passa pela origem
Passo 3
Monotonicidade:
Calculemos a derivada
Calculemos a derivada
Como
para todo
e só é zero em
, concluímos que
é crescente em todo
(é estritamente crescente, pois em torno de
não há troca de sinal de
).
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão:
A segunda derivada é
A segunda derivada é
— Para
,
: concavidade para baixo.
— Para ,
: concavidade para cima.
Em muda a concavidade, logo há ponto de inflexão em
.
— Para
Em
Passo 5
Comportamento nos extremos:
— Quando ,
.
— Quando ,
.
Não há assíntotas; a curva sobe indefinidamente à direita e desce indefinidamente à esquerda.
— Quando
— Quando
Não há assíntotas; a curva sobe indefinidamente à direita e desce indefinidamente à esquerda.
Passo 6
Pontos auxiliares para guiar o esboço:
— .
— .
Esses pontos estão na curva e ajudam a dar forma ao “S” característico.
—
—
Esses pontos estão na curva e ajudam a dar forma ao “S” característico.
Passo 7
Construção do esboço:
— Comece em com concavidade para baixo, passando por
.
— No ponto há inflexão e a curva muda para concavidade para cima.
— Para segue crescente e convexa, passando por
.
— O gráfico é simétrico ímpar em relação à origem (reflexão de ).
— Comece em
— No ponto
— Para
— O gráfico é simétrico ímpar em relação à origem (reflexão de
Resposta
O esboço de
é uma curva em forma de “S” que:
— Passa pela origem .
— Está abaixo do eixo para
, com concavidade para baixo, passando por
.
— Muda de concavidade em e fica acima do eixo
para
, com concavidade para cima, passando por
.
— Sobe indefinidamente à direita e desce indefinidamente à esquerda, sendo crescente em todo .
— Passa pela origem
— Está abaixo do eixo
— Muda de concavidade em
— Sobe indefinidamente à direita e desce indefinidamente à esquerda, sendo crescente em todo