Esboce os gráficos das funções abaixo:
e) f(x)=x^12

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função f(x)=x^12. O conteúdo é estudo de gráficos de funções de potência fracionária. Vamos precisar determinar domínio e imagem, calcular derivadas para verificar monotonicidade e concavidade, e identificar pontos notáveis para orientar o esboço.

Passo 2

O domínio de f é o conjunto de x tais que o radicando seja não negativo, isto é, x>=0. Logo
Dom(f)=[0,infty)
Como a raiz quadrada produz valores não negativos, a imagem é
Im(f)=[0,infty)

Passo 3

O intercepto com o eixo y ocorre em x=0, resultando em f(0)=0. Alguns pontos notáveis são obtidos escolhendo valores perfeitos para x:
(1,1), (4,2) e (9,3). Esses pontos ajudam a posicionar a curva no plano.

Passo 4

Para entender o formato da curva, calculamos a derivada
f'(x)=12raizx,
que é positiva para todo x>0, indicando que f é estritamente crescente. A segunda derivada é
f''(x)=-14,x^3/2,
que é negativa para todo x>0, mostrando que a curva é côncava para baixo.

Passo 5

Ao juntar essas informações, o esboço deve mostrar uma curva que parte do ponto (0,0), passa por (1,1), (4,2), (9,3) e continua para a direita ficando cada vez mais “achatada”, já que f'(x)to0 quando xtoinfty.

Resposta

O gráfico de f(x)=raizx é uma curva no primeiro quadrante, começando em (0,0), subindo de forma crescente e côncava para baixo, passando pelos pontos (1,1), (4,2), (9,3) e se aproximando de um crescimento cada vez mais lento conforme x cresce.

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