Esboce os gráficos das seguintes funções racionais:
y=1x^3;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
y = 1x^3
O conteúdo aqui envolve: domínio da função, assíntotas, simetria, interceptos, análise de sinal, monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas.
O denominador x^3 não pode ser zero, logo
Domínio=Rsetminus0 í
Como xto0, 1x^3topminfty, temos assíntota vertical em x=0.
Como xtopminfty, 1x^3to0, temos assíntota horizontal em y=0.

Passo 3

Analisar interceptos e simetria.
Não há intercepto em x nem em y, pois a função não está definida em x=0.
Verificamos que
f(-x)=1(-x)^3=-1x^3=-f(x),
portanto a função é ímpar e seu gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 4

Analisar sinal e alguns pontos-chave.
Para x>0, y>0; para x<0, y<0.
Pontos típicos:
x=1 Rightarrow y=1, x=2 Rightarrow y=tfrac18, x=tfrac12 Rightarrow y=8,
x=-1 Rightarrow y=-1, x=-2 Rightarrow y=-tfrac18, x=-tfrac12 Rightarrow y=-8

Passo 5

Estudar monotonicidade e concavidade.
Derivada primeira:
y' = -3,x^-4 = -3x^4<0forall xneq0,
logo a função é estritamente decrescente em (-infty,0) e em (0,infty).
Derivada segunda:
y'' = 12,x^-5 = 12x^5,
que é positiva para x>0 (côncava para cima) e negativa para x<0 (côncava para baixo).

Passo 6

Esboçar o gráfico combinando todas as informações:
  • Dois ramos: um em (0,infty) decrescente de +infty (quando xto0^+) até 0^+ (quando xto+infty), passando por (1,1).
  • Outro em (-infty,0) decrescente de 0^- (quando xto-infty) até -infty (quando xto0^-), passando por (-1,-1).
  • Assíntotas: vertical x=0 e horizontal y=0.
  • Simetria ímpar (origem).

Resposta

O gráfico de y=1/x^3 tem dois ramos:
  1. Para x>0, começa em +infty quando xto0^+, decresce passando por (1,1) e se aproxima de y=0 quando xto+infty, sendo côncavo para cima.
  2. Para x<0, começa em 0^- quando xto-infty, decresce passando por (-1,-1) até -infty quando xto0^-, sendo côncavo para baixo.
    Assíntotas em x=0 e y=0, com simetria ímpar em relação à origem.

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