Esboce os gráficos das seguintes funções racionais:
;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
O conteúdo aqui envolve: domínio da função, assíntotas, simetria, interceptos, análise de sinal, monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas.
O denominador não pode ser zero, logo
O denominador
Como
,
, temos assíntota vertical em
.
Como ,
, temos assíntota horizontal em
.
Como
Passo 3
Analisar interceptos e simetria.
Não há intercepto em nem em
, pois a função não está definida em
.
Verificamos que
Não há intercepto em
Verificamos que
portanto a função é ímpar e seu gráfico é simétrico em relação à origem.
Passo 4
Analisar sinal e alguns pontos-chave.
Para ,
; para
,
.
Pontos típicos:
Para
Pontos típicos:
Passo 5
Estudar monotonicidade e concavidade.
Derivada primeira:
Derivada primeira:
logo a função é estritamente decrescente em
e em
.
Derivada segunda:
Derivada segunda:
que é positiva para
(côncava para cima) e negativa para
(côncava para baixo).
Passo 6
Esboçar o gráfico combinando todas as informações:
- Dois ramos: um em
decrescente de (quando ) até (quando ), passando por . - Outro em
decrescente de (quando ) até (quando ), passando por . - Assíntotas: vertical
e horizontal . - Simetria ímpar (origem).
Resposta
O gráfico de
tem dois ramos:
- Para
, começa em quando , decresce passando por e se aproxima de quando , sendo côncavo para cima. - Para
, começa em quando , decresce passando por até quando , sendo côncavo para baixo.
Assíntotas eme , com simetria ímpar em relação à origem.