Esboce os gráficos dos seguintes polinômios, dando atenção especial à localização de seus zeros e a seu comportamento para valores grandes de
:
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico do polinômio
dando atenção especial a onde
(os zeros) e ao que acontece quando
. O conteúdo é estudo de polinômios, fatoração para achar zeros, análise de sinal e comportamento de extremidade.
Passo 2
Vamos fatorar para encontrar os zeros. Note que
Cada fator dá zeros simples:
Passo 3
Análise do comportamento para
grande: como o termo dominante é
com coeficiente positivo, segue que
Além disso, a função é par (só termos de potência par), logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 4
Para entender o traçado entre os zeros, faça uma análise de sinal em cada intervalo:
-
: todos os fatores e são negativos em número par, logo . -
: aqui e os outros três fatores são negativos sinal de é negativo. -
: agora , , mas e dois fatores negativos, de novo . -
: só é negativo, pois os outros três são positivos . -
: todos os fatores positivos .
Cada zero tem multiplicidade
, então o gráfico cruza o eixo
em cada uma das quatro raízes
.
Resposta
O gráfico é um “W” simétrico em torno do eixo
, interceptando o eixo
em
. Para
ele sobe indefinidamente. Entre cada par de raízes o polinômio alterna sinal, criando dois vales negativos (entre
e entre
) e um vale positivo central (entre
).