Esboce os gráficos dos seguintes polinômios, dando atenção especial à localização de seus zeros e a seu comportamento para valores grandes de x :
y=x^4-5 x^2+4.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico do polinômio
y = x^4 - 5x^2 + 4
dando atenção especial a onde y=0 (os zeros) e ao que acontece quando xtopminfty. O conteúdo é estudo de polinômios, fatoração para achar zeros, análise de sinal e comportamento de extremidade.

Passo 2

Vamos fatorar para encontrar os zeros. Note que
x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4)
Cada fator dá zeros simples:
x^2 - 1 = 0;Rightarrow;x=pm1, x^2 - 4 = 0;Rightarrow;x=pm2

Passo 3

Análise do comportamento para lvert xrvert grande: como o termo dominante é x^4 com coeficiente positivo, segue que
limxto+inftyy = +infty, limxto-inftyy = +infty
Além disso, a função é par (só termos de potência par), logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 4

Para entender o traçado entre os zeros, faça uma análise de sinal em cada intervalo:
  • ,x<-2: todos os fatores (xpm1) e (xpm2) são negativos em número par, logo y>0.
  • -2<x<-1: aqui (x+2)>0 e os outros três fatores (x-2),(x+1),(x-1) são negativos to sinal de y é negativo.
  • -1<x<1: agora (x+2)>0, (x+1)>0, mas (x-1)<0 e (x-2)<0 to dois fatores negativos, de novo y>0.
  • 1<x<2: só (x-2)<0 é negativo, pois os outros três são positivos to y<0.
  • x>2: todos os fatores positivos to y>0.
Cada zero tem multiplicidade 1, então o gráfico cruza o eixo x em cada uma das quatro raízes -2,-1,1,2.

Resposta

O gráfico é um “W” simétrico em torno do eixo y, interceptando o eixo x em x=-2,-1,1,2. Para lvert xrverttoinfty ele sobe indefinidamente. Entre cada par de raízes o polinômio alterna sinal, criando dois vales negativos (entre -2,-1 e entre 1,2) e um vale positivo central (entre -1,1).

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