Esboce os gráficos das seguintes funções racionais:
y=x^2+1x^2;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
y = x^2 + 1x^2
Aqui vamos analisar domínio, simetria, assíntotas, extremos (pela derivada) e monotonia, para depois montar o esboço.

Passo 2

Domínio e simetria
  • O termo tfrac1x^2 exige xneq0, logo o domínio é D = (-infty,0)cup(0,infty)
  • A função satisfaz f(-x)=(-x)^2+1(-x)^2=x^2+1x^2=f(x), ou seja, é uma função par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Comportamento em xto0 e xtopminfty (assíntotas)
  • Quando xto0, o termo tfrac1x^2to+infty, logo há assíntota vertical em x=0 com yto+infty.
  • Quando xtopminfty, temos y = x^2 + 1x^2 = x^2l(1+1x^4r) sim x^2, portanto o gráfico se aproxima da parábola y=x^2 para grandes lvert xrvert; não há assíntota oblíqua, mas o “ramo” comporta-se como yapprox x^2.

Passo 4

Cálculo da derivada e pontos críticos
  • Derivada: y' = ddxl(x^2 + x^-2r) = 2x - 2x^-3 = 2x^4 - 2x^3 = 2l(x^4 - 1r)x^3
  • Zeros de y': x^4 - 1 = 0 ;Longrightarrow; x = pm1
  • Valores nesses pontos: y(pm1) = 1^2 + 11^2 = 2

Passo 5

Monotonia e natureza dos extremos
  • Para x>1, x^4>1implies y'>0: função crescente em (1,infty).
  • Para 0<x<1, x^4<1implies y'<0: função decrescente em (0,1).
  • Pela simetria, em (-infty,-1) é decrescente (já que x^3<0 inverte o sinal) e em (-1,0) é crescente.
  • Portanto (pm1,2) são mínimos globais.

Passo 6

Esboço qualitativo
  • Dois ramos, um em x>0 e outro em x<0, simétricos.
  • Em cada ramo, yto+infty ao se aproximar de x=0.
  • Em (0,1] desce de +infty até o valor mínimo 2 em x=1, depois cresce para +infty quando xto+infty.
  • Mesmo comportamento espelhado para x<0.

Resposta

O gráfico de y = x^2 + tfrac1x^2 tem domínio (-infty,0)cup(0,infty), é par, apresenta assíntota vertical em x=0 ( yto+infty) e se aproxima de y=x^2 para lvert xrverttoinfty. Possui mínimos globais em (1,2) e (-1,2), caindo de +infty até y=2 em (0,1] (e espelhado em [-1,0)), e depois subindo novamente para +infty.

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