Esboce os gráficos das seguintes funções racionais:
;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
Aqui vamos analisar domínio, simetria, assíntotas, extremos (pela derivada) e monotonia, para depois montar o esboço.
Passo 2
Domínio e simetria
- O termo
exige , logo o domínio é - A função satisfaz
ou seja, é uma função par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo .
Passo 3
Comportamento em
e
(assíntotas)
- Quando
, o termo , logo há assíntota vertical em com . - Quando
, temos portanto o gráfico se aproxima da parábola para grandes ; não há assíntota oblíqua, mas o “ramo” comporta-se como .
Passo 4
Cálculo da derivada e pontos críticos
- Derivada:
- Zeros de
: - Valores nesses pontos:
Passo 5
Monotonia e natureza dos extremos
- Para
, : função crescente em . - Para
, : função decrescente em . - Pela simetria, em
é decrescente (já que inverte o sinal) e em é crescente. - Portanto
são mínimos globais.
Passo 6
Esboço qualitativo
- Dois ramos, um em
e outro em , simétricos. - Em cada ramo,
ao se aproximar de . - Em
desce de até o valor mínimo em , depois cresce para quando . - Mesmo comportamento espelhado para
.
Resposta
O gráfico de
tem domínio
, é par, apresenta assíntota vertical em
(
) e se aproxima de
para
. Possui mínimos globais em
e
, caindo de
até
em
(e espelhado em
), e depois subindo novamente para
.