Esboce os gráficos dos seguintes polinômios, dando atenção especial à localização de seus zeros e a seu comportamento para valores grandes de x :
y=x^4-x^2;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico do polinômio
y = x^4 - x^2
focando nos seus zeros e no comportamento quando xtopminfty. Vamos usar:
1. Fatoração para achar zeros.
2. Análise do termo dominante para o fim de asintotas.
3. Derivada para localizar extremos e monotonia.

Passo 2

Para achar os zeros, fatoramos
y = x^4-x^2 = x^2,(x^2-1) = x^2(x-1)(x+1)
Logo os zeros são
;x=0 (multiplicidade 2),
;x=1 e ;x=-1 (multiplicidade 1 cada).

Passo 3

O comportamento para lvert xrvert grande é dado pelo termo dominante x^4. Assim,
limxtopminftyy = +infty
Ambas as extremidades do gráfico sobem para +infty.

Passo 4

Calculamos a derivada para achar extremos:
y' = ddx(x^4-x^2) = 4x^3-2x = 2x,(2x^2-1)
Os pontos críticos satisfazem y'=0, ou seja,
2x=0implies x=0, 2x^2-1=0implies x=pm1raiz2

Passo 5

Classificamos cada ponto crítico pelo sinal de y' e calculamos y:
- x=-tfrac1raiz2:
yl(-tfrac1raiz2r) =l(tfrac12r)^2-l(tfrac12r) =tfrac14-tfrac12=-tfrac14,
e em x=-1 testamos y'<0, logo é mínimo local.
- x=0:
y(0)=0,
e em -tfrac1raiz2<x<tfrac1raiz2 muda de positivo para negativo, logo é máximo local (toque de eixo, pois multiplicidade 2).
- x=+tfrac1raiz2:
yl(tfrac1raiz2r)=-tfrac14,
e em x=1> tfrac1raiz2 temos y'>0, logo é mínimo local.

Passo 6

Resumo da monotonia e forma do gráfico:
- Em (- infty,-tfrac1raiz2): y'<0, desce de +infty até (-1/raiz2,-1/4).
- Em (-tfrac1raiz2,0): y'>0, sobe até (0,0).
- Em (0,tfrac1raiz2): y'<0, desce até (1/raiz2,-1/4).
- Em (tfrac1raiz2,+infty): y'>0, sobe até +infty.

Passo 7

Com isso o esboço apresenta:
  • Zeros em x=-1 e x=1 (cruza o eixo), e em x=0 (toca e volta).
  • Dois mínimos locais em l(pmtfrac1raiz2,-,tfrac14r).
  • Um máximo local em (0,0).
  • As duas pontas do gráfico crescem para +infty.

Resposta

O gráfico de y=x^4-x^2 tem:
  • Zeros em x=-1,0,1.
  • Mínimos locais em l(-tfrac1raiz2,-,tfrac14r) e l(tfrac1raiz2,-,tfrac14r).
  • Máximo local em (0,0).
  • Para xtopminfty, yto+infty.

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