Esboce os gráficos dos seguintes polinômios, dando atenção especial à localização de seus zeros e a seu comportamento para valores grandes de
:
;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico do polinômio
focando nos seus zeros e no comportamento quando
. Vamos usar:
. Fatoração para achar zeros.
. Análise do termo dominante para o fim de asintotas.
. Derivada para localizar extremos e monotonia.
Passo 2
Para achar os zeros, fatoramos
Logo os zeros são
(multiplicidade
),
e
(multiplicidade
cada).
Passo 3
O comportamento para
grande é dado pelo termo dominante
. Assim,
Ambas as extremidades do gráfico sobem para
.
Passo 4
Calculamos a derivada para achar extremos:
Os pontos críticos satisfazem
, ou seja,
Passo 5
Classificamos cada ponto crítico pelo sinal de
e calculamos
:
- :
-
e em
testamos
, logo é mínimo local.
- :
-
e em
muda de positivo para negativo, logo é máximo local (toque de eixo, pois multiplicidade
).
- :
-
e em
temos
, logo é mínimo local.
Passo 6
Resumo da monotonia e forma do gráfico:
- Em :
, desce de
até
.
- Em :
, sobe até
.
- Em :
, desce até
.
- Em :
, sobe até
.
- Em
- Em
- Em
- Em
Passo 7
Com isso o esboço apresenta:
- Zeros em
e (cruza o eixo), e em (toca e volta). - Dois mínimos locais em
. - Um máximo local em
. - As duas pontas do gráfico crescem para
.
Resposta
O gráfico de
tem:
- Zeros em
. - Mínimos locais em
e . - Máximo local em
. - Para
, .