O enunciado pede para desenhar no plano cartesiano a região formada pela interseção dos seguintes semiplanos: ,x+y<120,, ,3y-x<=0 (ou seja y<= x/3), ,x<=100 e ,y<=100.
O conteúdo é geometria analítica em R^2: cada desigualdade define um lado de reta e vamos sombrear o lado “válido” de cada uma.
Passo 2
Traçamos as quatro retas fronteira e identificamos para cada uma o semiplano que interessa: 1) Reta ,x+y=120. Como queremos ,x+y<120, sombreia-se a região abaixo (e à esquerda) dessa reta. 2) Reta ,3y-x=0, que é y=tfrac x3. Como queremos 3y-x<=0, sombreia-se o semiplano abaixo de y=x/3. 3) Reta vertical ,x=100. Queremos ,x<=100, então sombreia-se tudo à esquerda dessa reta. 4) Reta horizontal ,y=100. Queremos ,y<=100, então sombreia-se tudo abaixo dela.
Passo 3
Para entender o contorno “visível” da região, calculamos os pontos de interseção relevantes entre essas retas:
Interseção de
dá o ponto com :
dá o ponto com dá .
- A interseção de com seria , mas cai fora de , então não entra no contorno.
Passo 4
Agora unimos tudo no mesmo esboço:
Marque as retas x+y=120, y=x3, x=100 e y=100.
Identifique e marque os pontos A=(20,100), B=(100,20) e C=(100,1003).
Sombreie a região que está simultaneamente bul<=t abaixo de x+y=120, bul<=t abaixo de y=x3, bul<=t à esquerda de x=100, bul<=t abaixo de y=100.
O contorno “fechado” visível na parte superior consiste no segmento AB sobre x+y=120, no trecho de A para a esquerda ao longo de y=100 até (- infty,100), e no trecho de B para baixo ao longo de x=100 até (100,-infty); embaixo e à esquerda a região é ilimitada, seguindo a linha y=x3 para (- infty,-infty).
Resposta
O esboço fica assim (paredes sólidas são as retas, seta indica semiplano válido):
Em resumo, a região solução é a interseção dos quatro semiplanos descritos, com vértices principais em , , e sem limite para baixo à esquerda seguindo .
Cálculo - Maurício A. Vilches - Cálculo para Economia e Administração - Vol 1 - 1ª Edição - Capítulo 1.11 - Ex. 27.c