Esboce as regiões da solução de:
lx+y<120 3 y-x <= 0 x <= 100 y <= 100

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano cartesiano a região formada pela interseção dos seguintes semiplanos:
,x+y<120,, ,3y-x<=0 (ou seja y<= x/3), ,x<=100 e ,y<=100.
O conteúdo é geometria analítica em R^2: cada desigualdade define um lado de reta e vamos sombrear o lado “válido” de cada uma.

Passo 2

Traçamos as quatro retas fronteira e identificamos para cada uma o semiplano que interessa:
1) Reta ,x+y=120. Como queremos ,x+y<120, sombreia-se a região abaixo (e à esquerda) dessa reta.
2) Reta ,3y-x=0, que é y=tfrac x3. Como queremos 3y-x<=0, sombreia-se o semiplano abaixo de y=x/3.
3) Reta vertical ,x=100. Queremos ,x<=100, então sombreia-se tudo à esquerda dessa reta.
4) Reta horizontal ,y=100. Queremos ,y<=100, então sombreia-se tudo abaixo dela.

Passo 3

Para entender o contorno “visível” da região, calculamos os pontos de interseção relevantes entre essas retas:
  • Interseção de
dá o ponto com :
dá o ponto com .
- A interseção de com seria , mas cai fora de , então não entra no contorno.

Passo 4

Agora unimos tudo no mesmo esboço:
  • Marque as retas x+y=120, y=x3, x=100 e y=100.
  • Identifique e marque os pontos A=(20,100), B=(100,20) e C=(100,1003).
  • Sombreie a região que está simultaneamente
    bul<=t abaixo de x+y=120,
    bul<=t abaixo de y=x3,
    bul<=t à esquerda de x=100,
    bul<=t abaixo de y=100.
O contorno “fechado” visível na parte superior consiste no segmento AB sobre x+y=120, no trecho de A para a esquerda ao longo de y=100 até (- infty,100), e no trecho de B para baixo ao longo de x=100 até (100,-infty); embaixo e à esquerda a região é ilimitada, seguindo a linha y=x3 para (- infty,-infty).

Resposta

O esboço fica assim (paredes sólidas são as retas, seta indica semiplano válido):
      y
      \uparrow
\(100\) \text{──}\bullet\text{──────────────────────────────}  
      \vert\text{\                             |}
      \vert \text{\                            |}
      \vert  \text{\  Região viável abaixo de }\(x+y =120\) \text{ e de }\(y=\frac{x}{3}\)      |
      \vert   \text{\  }      |
      \vert    \bullet \text{ B }\(100,20\)              |
      \vert    \vert \text{\                       |}
      \vert    \vert  \text{\                      |}
      \vert    \vert   \text{\                     |}
      \vert    \vert    \text{\                    |}
      \vert    \vert     \text{\                   |}
      \vert    \vert      \text{\                  |}
      \vert    \vert       \text{\                 |}
      \vert    \vert        \text{\                |}
      \vert    \vert         \text{\               |}
      \vert    \vert          \bullet \text{ A }\(20,100\)    |
      \vert    \vert                          \leftarrow \text{ semiplano } x\leq 100
      \vert    \vert                          
      \downarrow\text{──────────────────────────────}\to \text{ x}
Em resumo, a região solução é a interseção dos quatro semiplanos descritos, com vértices principais em , , e sem limite para baixo à esquerda seguindo .

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