5-6 Esboce várias curvas de nível da função.
(f(x, y)=\sqrt{4 x{2}+y{2}})
(f(x, y)=\sqrt{4 x{2}+y{2}})
Passo 1
O enunciado pede para esboçar várias curvas de nível da função
Estamos trabalhando com curvas de nível (contour plots), isto é, as curvas do plano em que
tem valor constante.
Passo 2
Definição de curva de nível: para cada constante
, a curva de nível de
no nível
é o conjunto
Logo, precisamos resolver
Passo 3
Elevação ao quadrado elimina a raiz:
Essa é a equação geral de uma elipse centrada na origem.
Passo 4
Colocando em forma canônica dividindo por
:
Dessa forma vemos que, para cada nível
:
— semieixo horizontal ,
— semieixo vertical .
— semieixo horizontal
— semieixo vertical
Passo 5
Escolhendo alguns valores de
(por exemplo
), temos as elipses:
Para esboçar:
— centre cada elipse na origem;
— trace-as alinhadas com os eixos e
;
— quanto maior , mais “esticada” em
e
.
— centre cada elipse na origem;
— trace-as alinhadas com os eixos
— quanto maior
Resposta
As curvas de nível são elipses centradas na origem, dadas por
com semieixos horizontais
e verticais
.
Por exemplo, para obtém-se respectivamente
Por exemplo, para
que crescem e mantêm a mesma orientação ao longo do plano.