5-6 Esboce várias curvas de nível da função.
(f(x, y)=\sqrt{4 x{2}+y{2}})

Passo 1

O enunciado pede para esboçar várias curvas de nível da função
f(x,y)=\sqrt{4x^{2}+y^{2}}\,.
Estamos trabalhando com curvas de nível (contour plots), isto é, as curvas do plano em que f(x,y) tem valor constante.

Passo 2

Definição de curva de nível: para cada constante c\ge0, a curva de nível de f no nível c é o conjunto
\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}\,.
Logo, precisamos resolver
\sqrt{4x^{2}+y^{2}}=c\,.

Passo 3

Elevação ao quadrado elimina a raiz:
4x^{2}+y^{2}=c^{2}\,.
Essa é a equação geral de uma elipse centrada na origem.

Passo 4

Colocando em forma canônica dividindo por c^{2}:
\frac{4x^{2}}{c^{2}}+\frac{y^{2}}{c^{2}}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{(c/2)^{2}}+\frac{y^{2}}{c^{2}}=1.
Dessa forma vemos que, para cada nível c:
— semieixo horizontal a=\tfrac{c}{2},
— semieixo vertical b=c.

Passo 5

Escolhendo alguns valores de c (por exemplo c=1,2,3), temos as elipses:
c=1:\;4x^{2}+y^{2}=1,\quad a=\tfrac12,\;b=1;
c=2:\;4x^{2}+y^{2}=4,\quad a=1,\;b=2;
c=3:\;4x^{2}+y^{2}=9,\quad a=\tfrac32,\;b=3.
Para esboçar:
— centre cada elipse na origem;
— trace-as alinhadas com os eixos x e y;
— quanto maior c, mais “esticada” em x e y.

Resposta

As curvas de nível são elipses centradas na origem, dadas por
4x^{2}+y^{2}=c^{2},\quad c>0,
com semieixos horizontais a=c/2 e verticais b=c.
Por exemplo, para c=1,2,3 obtém-se respectivamente
4x^{2}+y^{2}=1,\quad 4x^{2}+y^{2}=4,\quad 4x^{2}+y^{2}=9,
que crescem e mantêm a mesma orientação ao longo do plano.

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