Uma escada tem 10 degraus. Para subi-la em cada passo, pode-se subir de um ou dois degraus de cada vez. De quantos modos diferentes se poderia subi-la com um número par de passos?
a) 44
b) 8
c) 32
d) 56
e) 80
Solução: Alternativa A
Seja U um movimento de subir um degrau e D um movimento de subir dois degraus de uma vez.
Deve-se separar cm casos:
i) UUUUUUUUUU: 1 possibilidade
ii) UUUUUUDD:
possibilidades
iii) UUDDDD:
possibilidades
a) 44
b) 8
c) 32
d) 56
e) 80
Deve-se separar cm casos:
i) UUUUUUUUUU: 1 possibilidade
ii) UUUUUUDD:
iii) UUDDDD:
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de subir uma escada de 10 degraus usando movimentos de 1 ou 2 degraus, de modo que o número total de movimentos seja par. O conteúdo necessário é o de contagem de sequências formadas por
movimentos de 1 degrau e
movimentos de 2 degraus.
Passo 2
Chamemos de
a quantidade de movimentos de 1 degrau (símbolo
) e de
a quantidade de movimentos de 2 degraus (símbolo
). Como no total devemos subir 10 degraus,
e o número de movimentos é
Queremos apenas as soluções em que
é par.
Passo 3
Resolvendo
em não-negativos, obtemos
. Para cada valor de
calculamos
e
, e selecionamos os casos com
par:
- Se
então e (par). - Se
então e (par). - Se
então e (par).
Os demais valores dedão ímpar e são desconsiderados.
Passo 4
Para cada caso, o número de sequências é dado pelo número de permutações de
símbolos
e
símbolos
, isto é,
- Caso
:
- Caso
:
- Caso
:
Passo 5
Somando as possibilidades dos três casos com
par:
Resposta
(a) 44