Uma escada tem 10 degraus. Para subi-la em cada passo, pode-se subir de um ou dois degraus de cada vez. De quantos modos diferentes se poderia subi-la com um número par de passos?
a) 44
b) 8
c) 32
d) 56
e) 80
Solução: Alternativa A
Seja U um movimento de subir um degrau e D um movimento de subir dois degraus de uma vez.
Deve-se separar cm casos:
i) UUUUUUUUUU: 1 possibilidade
ii) UUUUUUDD: 8!/ 6!2!=28 possibilidades
iii) UUDDDD: 6!/ 2!.4!=15 possibilidades

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de subir uma escada de 10 degraus usando movimentos de 1 ou 2 degraus, de modo que o número total de movimentos seja par. O conteúdo necessário é o de contagem de sequências formadas por p movimentos de 1 degrau e q movimentos de 2 degraus.

Passo 2

Chamemos de p a quantidade de movimentos de 1 degrau (símbolo U) e de q a quantidade de movimentos de 2 degraus (símbolo D). Como no total devemos subir 10 degraus,
p + 2q = 10,
e o número de movimentos é
m = p + q.
Queremos apenas as soluções em que m é par.

Passo 3

Resolvendo p + 2q = 10 em não-negativos, obtemos p=0,2,4,6,8,10. Para cada valor de p calculamos q e m=p+q, e selecionamos os casos com m par:
  • Se p=10 então q=0 e m=10 (par).
  • Se p=6 então q=2 e m=8 (par).
  • Se p=2 então q=4 e m=6 (par).
    Os demais valores de p dão m ímpar e são desconsiderados.

Passo 4

Para cada caso, o número de sequências é dado pelo número de permutações de p símbolos U e q símbolos D, isto é,
\binom{p+q}{p} = \frac{(p+q)!}{p!\,q!}.
  • Caso p=10, q=0:
\binom{10}{10} = 1.
  • Caso p=6, q=2:
\binom{8}{6} = \frac{8!}{6!\,2!} = 28.
  • Caso p=2, q=4:
\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!\,4!} = 15.

Passo 5

Somando as possibilidades dos três casos com m par:
1 + 28 + 15 = 44.

Resposta

(a) 44

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