(OBM-06) Seja
inteiro positivo. De quantas maneiras podemos distribuir
brinquedos distintos para
crianças de modo que toda criança receba pelo menos um brinquedo?
Solução:
Perceba que uma das crianças vai receber exatamente dois brinquedos enquanto què as demais
crianças vão receber exatamente um brinquedo. Inicie escolhendo um dos
brinquedos e o separe:
possibilidades. Depois permute os
brinquedos restantes entre os
alunos:
! fatorial. Agora escolha o aluno que vai ficar com dois brinquedos: n possibilidades. Note, porém, que está se considerando a ordem da distribuição dos brinquedos da criança que vai receber dois brinquedos. Para retirar essa ordem basta dividir tudo por
.
Deste modo, a quantidade total de maneiras é:
.
Deste modo, a quantidade total de maneiras é:
Passo 1
O enunciado pede o número de formas de distribuir
brinquedos distintos entre
crianças de modo que cada criança receba pelo menos um brinquedo. O conteúdo usado será o princípio multiplicativo e combinações, além do raciocínio pelo princípio da casa dos pombos.
Passo 2
Como há
brinquedos e
crianças, pelo princípio da casa dos pombos exatamente uma criança ficará com dois brinquedos e as demais receberão exatamente um.
Passo 3
Escolhemos qual criança ficará com dois brinquedos. Isso pode ser feito de
maneiras.
Passo 4
Em seguida, escolhemos quais dois brinquedos dessa criança, dentre os
disponíveis. Há
formas de fazer essa escolha.
Passo 5
Os
brinquedos restantes devem ser distribuídos, um para cada uma das outras
crianças. Como cada brinquedo é distinto, há
maneiras de atribuir esses brinquedos às demais crianças.
Passo 6
Pelo princípio multiplicativo, o total de distribuições é
e, simplificando,