Seis pessoas A, B, C, D, E, F ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, calcule o número de possibilidades distintas para as 6 pessoas se disporem.
1" Solução:
Vamos resolver esta questão utilizando o método indireto de contagem. Vamos contar a quantidade de permutações sem restrições em relação a A e B e subtrair da quantidade de permutações em que as pessoas A e B aparecem uma ao lado da outra. Como as pessoas C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, vamos considerar \underline{C D} (e \underline{D C} ) como apenas um elemento na configuração.
Assim, temos que permutar os elementos CD A B E E.
Sem restrições para A e B temos N_{1}=2!.5!=240 pernutações. A análise das pessoas A e B lado a lado equivale a permutar os elementos C D \quad A B E E, lembrando também das permutações internas de \underline{A B} e \underline{C D}, uma vez que as sequèncias \underline{B A} e \underline{D C} também devem ser consideradas.
Portanto, temos \mathrm{N}_{2}=2!.2!.4!=96.
Pelo método indireto de contagem, há N_{1}-N_{2}=240-96=144 permutações. 2^{2} Solução:
Vamos resolver agora utilizando o método direto de contagem. Como as pessoas C e D devem aparecer uma ao lado da outra da fotografia, vamos considerar os cinco elementos distintos \underline{C D} \quad \underline{A} \quad \underline{E} \quad \underline{F}. As posições relativas das pessoas A e B na fotografia podem ser analisadas abaixo.
i) se a pessoa A é a primeira ou a última da fila ( 2 possibilidades), então a pessoa B possui 3 possibilidades de ocupar a fila sem que A e B fiquem lado a lado. Assim, neste primeiro caso temos 2.3=6 posições relativas entre A e B .
ii) se a pessoa A está entre a 2^{a} e a 4^{a} posições na fila (3 possibilidades), então a pessoa B possui 2 possibilidades de ocupar a fila sem que A e B fiquem lado a lado. Portanto, neste segundo caso temos 3.2=6 posições relativas entre A e B.
Desta forma, no geral hả 6+6=12 posições relativas possíveis entre A e B.
Passo 1
O enunciado pede o número de disposições de seis pessoas A,B,C,D,E,F em fila, sujeitas a duas restrições:
A e B não podem ficar lado a lado.
C e D devem ficar lado a lado.
O conteúdo principal é contar permutações com blocos e usar complemento para excluir casos indesejados.
Passo 2
Como C e D obrigatoriamente ficam juntos, tratamos o par \underline{CD} como um único “super-elemento”. Assim, passamos a permutar cinco elementos distintos:
\underline{CD},\;A,\;B,\;E,\;F.
Passo 3
Sem ainda impor a restrição sobre A e B, o total de permutações desses cinco elementos é
5! = 120.
Passo 4
Agora contamos quantas dessas 120 têm A e B lado a lado, para depois subtrair do total. Se agrupamos A e B como \underline{AB}, passamos a ter quatro blocos a permutar:
\underline{AB},\;\underline{CD},\;E,\;F,
cujo número de permutações é 4!. Além disso, internamente \underline{AB} pode ser AB ou BA, dando mais um fator 2. Logo