(Escócia-2001) Os inteiros positivos p e q são tais que p, p+q e p +2 q são primos. Prove que pq é múltiplo de 6 .

Passo 1

O enunciado diz que p e q são inteiros positivos tais que
p, p+q, p+2q
são todos números primos. Vamos usar ideias de paridade (para o fator 2) e aritmética modular módulo 3 (para o fator 3) a fim de mostrar que 6=2cdot3 divide o produto p,q.

Passo 2

Mostramos que 2 divide p,q. Como p é primo, ou p=2 ou p é ímpar.
  • Se p=2 então 2mid p e já temos 2mid p,q.
  • Se p é ímpar, então para que p+q também seja primo (e maior que 2), p+q não pode ser par. Como p é ímpar, q deve ser par, logo 2mid q e novamente 2mid p,q.

Passo 3

Mostramos que 3 divide p,q. Há dois casos para q módulo 3:
Caso A: ,qequiv0pmod3.
Então 3mid q e, portanto, 3mid p,q.
Caso B: ,qnotequiv0pmod3.
Nesse caso qequiv1 ou qequiv2pmod3. Para qualquer valor de ppmod3, os resíduos de
p, p+q, p+2q
são três valores distintos em 0,1,2, porque somar qequiv1 ou 2 “gira” esses resíduos e os três devem aparecer. Logo um deles é equiv0pmod3. Mas cada um desses três números é primo, então o único primo múltiplo de 3 é 3 em si. Isso força um deles a ser exatamente 3. Verifica-se que as únicas formas viáveis são
p=3,ou p+q=3,ou p+2q=3
Mas as duas últimas dão contradições (não permitem todos os três números primos positivos), restando p=3. Assim 3mid p e, de novo, 3mid p,q.

Passo 4

Juntando os resultados dos passos anteriores, concluímos que
2mid p,q e 3mid p,q Longrightarrow 6mid p,q

Resposta

p,q é múltiplo de 6.

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