(Escócia-2001) Os inteiros positivos p e q são tais que
e p
são primos. Prove que pq é múltiplo de 6 .
Passo 1
O enunciado diz que
e
são inteiros positivos tais que
são todos números primos. Vamos usar ideias de paridade (para o fator
) e aritmética modular módulo
(para o fator
) a fim de mostrar que
divide o produto
.
Passo 2
Mostramos que
divide
. Como
é primo, ou
ou
é ímpar.
- Se
então e já temos . - Se
é ímpar, então para que também seja primo (e maior que ), não pode ser par. Como é ímpar, deve ser par, logo e novamente .
Passo 3
Mostramos que
divide
. Há dois casos para
módulo
:
Caso A:
.
Então e, portanto,
.
Então
Caso B:
.
Nesse caso ou
. Para qualquer valor de
, os resíduos de
Nesse caso
são três valores distintos em
, porque somar
ou
“gira” esses resíduos e os três devem aparecer. Logo um deles é
. Mas cada um desses três números é primo, então o único primo múltiplo de
é
em si. Isso força um deles a ser exatamente
. Verifica-se que as únicas formas viáveis são
Mas as duas últimas dão contradições (não permitem todos os três números primos positivos), restando
. Assim
e, de novo,
.
Passo 4
Juntando os resultados dos passos anteriores, concluímos que