(Alberta Competition-98) Seja S=1+2+3+ ldots+10^n. Quantos fatores de 2 aparecem da fatoração de S ?

Passo 1

O enunciado pede o número de fatores de 2 na fatoração de
S = 1 + 2 + 3 + cdots + 10^n
O conteúdo envolve soma de termos consecutivos e o cálculo da valuation v2, isto é, a exposição de 2 na fatoração.

Passo 2

Usamos a fórmula da soma dos N primeiros inteiros com N = 10^n:
S = N(N+1)2

Passo 3

Para encontrar quantos fatores de 2 há em S calculamos
v2(S) = v2l(N(N+1)r) - v2(2) = v2(N) + v2(N+1) - 1

Passo 4

Como N = 10^n = 2^n cdot 5^n, temos
v2(N) = n
E N é par, logo N+1 é ímpar, o que implica
v2(N+1) = 0

Passo 5

Substituindo em v2(S):
v2(S) = n + 0 - 1 = n - 1

Resposta

O número de fatores de 2 na fatoração de S é n-1.

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