Escreva cada número complexo na forma polar. A seguir, use (4) ou (5) para obter a forma polar do número indicado. Escreva a forma polar na forma a+i b.
(4+4 i)(-1+i)

Passo 1

O enunciado pede para escrever cada número complexo na forma polar e então usar a propriedade da multiplicação em coordenadas polares (módulos se multiplicam e argumentos se somam) para obter a forma polar de (4+4i)(-1+i). Por fim, devemos voltar da forma polar para a forma retangular a+ib.

Passo 2

Encontrar a forma polar de 4+4i.
O módulo é
r_1 = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2},
e o argumento, no primeiro quadrante, é
\theta_1 = \arctan\!\bigl(\tfrac{4}{4}\bigr) = \tfrac{\pi}{4}.
Logo
4+4i = 4\sqrt{2}\,\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4} + i\sin\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 3

Encontrar a forma polar de -1+i.
O módulo é
r_2 = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2},
e o argumento, no segundo quadrante, satisfaz
\tan\theta_2 = \frac{1}{-1} = -1 \quad\Longrightarrow\quad \theta_2 = \pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{3\pi}{4}.
Portanto
-1+i = \sqrt{2}\,\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4} + i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr).

Passo 4

Multiplicando em forma polar, o módulo do produto é
r = r_1\,r_2 = (4\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 8,
e o argumento é
\theta = \theta_1 + \theta_2 = \tfrac{\pi}{4} + \tfrac{3\pi}{4} = \pi.
Assim, em forma polar
(4+4i)(-1+i) = 8\bigl(\cos\pi + i\sin\pi\bigr).

Passo 5

Voltar para a forma retangular a+ib. Como \cos\pi = -1 e \sin\pi = 0, temos
8\bigl(\cos\pi + i\sin\pi\bigr) = 8(-1 + i\cdot0) = -8 + 0\,i.

Resposta

-8 + 0i

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