Escreva uma expressão para cada um dos seguintes itens:
A área da superfície obtida pela rotação de uma curva parametrizada em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a expressão da área da superfície obtida ao girar uma curva paramétrica em torno do eixo x. O conteúdo é “superfície de revolução” em coordenadas paramétricas, e vamos precisar da fórmula do elemento de arco \mathrm{d}s para integrar a área.

Passo 2

Se a curva é dada por
x = x(t),\quad y = y(t),\quad t\in [t_1,t_2],
o diferencial de arco é
\mathrm{d}s = \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,\mathrm{d}t.
Ao girar em torno do eixo x, cada pedacinho de curva gera um anel de raio y(t) e “largura” \mathrm{d}s. A área desse anel é 2\pi\,y(t)\,\mathrm{d}s.

Resposta

S \;=\; 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y(t)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,\mathrm{d}t.

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