Escreva de memória as três EDPs de provavelmente maior importância e enuncie suas aplicações mais relevantes.

Passo 1

O enunciado pede que a gente cite de “memória” as três EDPs mais importantes e assinale suas aplicações mais relevantes. O conteúdo aqui é reconhecimento e formulação das equações de calor, onda e Laplace, além de explicar brevemente em quais fenômenos físicos e engenheirísticos cada uma aparece.

Passo 2

A primeira EDP de grande importância é a equação do calor, que modela a difusão de temperatura (ou de concentração) em um meio. A forma geral unidimensional é
\frac{\partial u}{\partial t} = k\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
onde u(x,t) é a temperatura no ponto x e instante t, e k>0 é a difusividade térmica.
Aplicações mais relevantes: condução de calor em sólidos, difusão de poluentes em rios, previsão de distribuição de temperatura em processos industriais.

Passo 3

A segunda EDP fundamental é a equação da onda, que descreve a propagação de vibrações e perturbações em meios elásticos ou em campo eletromagnético. No caso unidimensional, temos
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
onde u(x,t) representa o deslocamento ou a amplitude da onda, e c é a velocidade de propagação.
Aplicações mais relevantes: vibração de cordas e membranas, acústica em salas, propagação de ondas eletromagnéticas em guias de onda.

Passo 4

A terceira EDP é a equação de Laplace, que aparece em problemas de estado estacionário (tempo não entra na EDP). Em domínio \Omega\subset\mathbb{R}^n, escreve-se
\nabla^2 u = 0,
onde \nabla^2 é o laplaciano espacial.
Aplicações mais relevantes: potencial eletrostático (equação de Poisson/Laplace), escoamento de fluidos incompressíveis em regime estacionário, distribuição de temperatura em regime permanente.

Resposta

Equação do calor
\frac{\partial u}{\partial t} = k\,\nabla^2 u
Aplicações: condução de calor, difusão de substâncias, processos industriais térmicos.
Equação da onda
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\,\nabla^2 u
Aplicações: vibrações em cordas e membranas, acústica, ondas eletromagnéticas.
Equação de Laplace
\nabla^2 u = 0
Aplicações: potenciais elétricos e gravitacionais, escoamentos estacionários, distribuição de temperatura em regime permanente.

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