Escreva de memória as três EDPs de provavelmente maior importância e enuncie suas aplicações mais relevantes.
Passo 1
O enunciado pede que a gente cite de “memória” as três EDPs mais importantes e assinale suas aplicações mais relevantes. O conteúdo aqui é reconhecimento e formulação das equações de calor, onda e Laplace, além de explicar brevemente em quais fenômenos físicos e engenheirísticos cada uma aparece.
Passo 2
A primeira EDP de grande importância é a equação do calor, que modela a difusão de temperatura (ou de concentração) em um meio. A forma geral unidimensional é
onde
é a temperatura no ponto
e instante
, e
é a difusividade térmica.
Aplicações mais relevantes: condução de calor em sólidos, difusão de poluentes em rios, previsão de distribuição de temperatura em processos industriais.
Aplicações mais relevantes: condução de calor em sólidos, difusão de poluentes em rios, previsão de distribuição de temperatura em processos industriais.
Passo 3
A segunda EDP fundamental é a equação da onda, que descreve a propagação de vibrações e perturbações em meios elásticos ou em campo eletromagnético. No caso unidimensional, temos
onde
representa o deslocamento ou a amplitude da onda, e
é a velocidade de propagação.
Aplicações mais relevantes: vibração de cordas e membranas, acústica em salas, propagação de ondas eletromagnéticas em guias de onda.
Aplicações mais relevantes: vibração de cordas e membranas, acústica em salas, propagação de ondas eletromagnéticas em guias de onda.
Passo 4
A terceira EDP é a equação de Laplace, que aparece em problemas de estado estacionário (tempo não entra na EDP). Em domínio
, escreve-se
onde
é o laplaciano espacial.
Aplicações mais relevantes: potencial eletrostático (equação de Poisson/Laplace), escoamento de fluidos incompressíveis em regime estacionário, distribuição de temperatura em regime permanente.
Aplicações mais relevantes: potencial eletrostático (equação de Poisson/Laplace), escoamento de fluidos incompressíveis em regime estacionário, distribuição de temperatura em regime permanente.
Resposta
Equação do calor
Aplicações: condução de calor, difusão de substâncias, processos industriais térmicos.
Equação da onda
Aplicações: vibrações em cordas e membranas, acústica, ondas eletromagnéticas.
Equação de Laplace
Aplicações: potenciais elétricos e gravitacionais, escoamentos estacionários, distribuição de temperatura em regime permanente.