1. Escreve-se de 1 até 537, inclusive. Quantas vezes figurou o algarismo 5?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantas vezes o dígito 5 aparece ao escrever todos os números de 1 até 537. Vamos usar o método de contagem por posição de dígito (unidades, dezenas e centenas), aplicando para cada posição a fórmula
Cp ;=;llfloor N10,prrfloorcdot p ;+;max!l(0,min!l(p,,(N bmod (10,p)) - 5,p + 1r)r),
onde N=537 e p é o peso da posição ( 1, 10 ou 100).

Passo 2

Contagem na posição das unidades ( p=1):
llfloor 53710cdot1rrfloorcdot1 = 53cdot1 = 53,
o resto é
r = 537 bmod 10 = 7,
e o extra é
maxl(0,min(1,,7 - 5cdot1 + 1)r) =max(0,min(1,3))=1
Logo, total de “5” na casa das unidades é
53 + 1 = 54

Passo 3

Contagem na posição das dezenas ( p=10):
llfloor 53710cdot10rrfloorcdot10 =lfloor 5,37rfloorcdot10 =5cdot10=50,
o resto é
r = 537 bmod 100 = 37,
e o extra é
maxl(0,min(10,,37 - 5cdot10 + 1)r) =max(0,min(10,-12))=0
Portanto, total de “5” na casa das dezenas é 50.

Passo 4

Contagem na posição das centenas ( p=100):
llfloor 53710cdot100rrfloorcdot100 =lfloor 0,537rfloorcdot100 =0cdot100=0,
o resto é
r = 537 bmod 1000 = 537,
e o extra é
maxl(0,min(100,,537 - 5cdot100 + 1)r) =max(0,min(100,38))=38
Logo, total de “5” na casa das centenas é 38.

Passo 5

Somando as contagens de cada posição:
54 + 50 + 38 = 142

Resposta

142 vezes.

Exercícios de Livros Relacionados