Escrever a fórmula mais simples do enésimo termo das seguintes séries, de acordo com os termos indicados:
\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\ldots

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\ldots
e pede a fórmula do termo geral \,a_n. O conteúdo é identificar o padrão dos denominadores e escrever uma expressão em função de n.

Passo 2

Observe os denominadores em sequência:
2,\;6,\;12,\;20,\;30,\;42,\dots
Note que 2=1\cdot2, 6=2\cdot3, 12=3\cdot4, 20=4\cdot5 e assim por diante. Logo o n-ésimo denominador é n(n+1).

Passo 3

Portanto o termo geral \,a_n é dado por
a_n = \frac{1}{n(n+1)}.

Passo 4

Para evidenciar a forma telescópica, podemos usar a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.

Resposta

a_n = \frac{1}{n(n+1)} \quad(\text{ou}\;\,a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}).

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