Escrever a fórmula mais simples do enésimo termo das seguintes séries, de acordo com os termos indicados:
1+\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 4 \cdot 7}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 10}+\ldots

Passo 1

O enunciado mostra a série cujos termos são
1,\quad \frac{1\cdot3}{1\cdot4},\quad \frac{1\cdot3\cdot5}{1\cdot4\cdot7},\quad \frac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{1\cdot4\cdot7\cdot10},\dots
e pede a fórmula do enésimo termo a_n. Aqui o conteúdo é identificação de padrões de produtos e notação de produto finito.

Passo 2

Observe o numerador de cada termo: são os primeiros ímpares
1,\;1\cdot3,\;1\cdot3\cdot5,\;1\cdot3\cdot5\cdot7,\dots
ou seja, produto de 2k-1 para k=1,2,\dots,n.

Passo 3

Observe o denominador de cada termo: são os termos da progressão aritmética 1,4,7,10,\dots, isto é, cada fator é 3k-2 para k=1,2,\dots,n.

Passo 4

Juntando as duas peças, o n-ésimo termo é o quociente entre o produto dos ímpares e o produto dos termos 3k-2. Em notação de produto:
a_n \;=\;\frac{\prod_{k=1}^n(\,2k-1\,)}{\prod_{k=1}^n(\,3k-2\,)} \;=\;\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{3k-2}.

Resposta

a_n = \prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{3k-2}.

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