Escrever a fórmula mais simples do enésimo termo das seguintes séries, de acordo com os termos indicados:
1+\frac{1}{2}+3+\frac{1}{4}+5+\frac{1}{6}+\ldots

Passo 1

O enunciado dá a série cujos termos são
1, 1/2, 3, 1/4, 5, 1/6, …
Precisamos encontrar uma fórmula que gere o enésimo termo a_n em função de n.

Passo 2

Observando a sequência, vemos que:
  • Nas posições ímpares n=1,3,5,\dots aparecem os números ímpares 1,3,5,\dots, ou seja,
a_{2k-1}=2k-1.
  • Nas posições pares n=2,4,6,\dots aparecem os inversos dos pares 2,4,6,\dots, ou seja,
a_{2k}=\frac{1}{2k}.

Passo 3

Uma forma clara de expressar isso é por partes:
a_n = \begin{cases} n, & \text{se \(n\) é ímpar},\\[6pt] \dfrac{1}{n}, & \text{se \(n\) é par}. \end{cases}éíé]

Passo 4

Para unificar numa única fórmula sem usar casos, note que (-1)^{n+1}=1 quando n é ímpar e (-1)^{n+1}=-1 quando n é par.
Logo, basta elevar n a esse expoente:
a_n = n^{(-1)^{n+1}}.

Resposta

a_n = n^{(-1)^{n+1}}.

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