(EsPCEx-17) Considere o sistema linear homogênco \left\{\begin{array}{l}x-3 y+k z=0 \\\\ 3 x+k y+z=0, \text { onde } \\\ k x+y=0\end{array}\right. k é um número real. O único valor que torna o sistema, acima, possivel e indeterminado, pertence ao intervalo
a) (-4,-2]
b) (-2,1]
c) (1,2]
d) (2,4]
e) (4,6]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo em x,y,z que depende do parâmetro real k. Queremos saber para qual valor de k o sistema é possível e indeterminado (isto é, admite solução não trivial). O conteúdo usado aqui é que, num sistema homogêneo, há soluções não triviais exatamente quando a matriz de coeficientes é singular, ou seja, quando o determinante é zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & k\\\\ 3 & k & 1\\\ k & 1 & 0 \end{pmatrix}
e lembramos que o sistema homogêneo A\,(x,y,z)^T=0 tem solução não trivial se, e somente se,
\det(A)=0.

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}k&1\\\ 1&0\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}3&1\k&0\end{pmatrix} +k\cdot\det\begin{pmatrix}3&k\k&1\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}k&1\\\ 1&0\end{pmatrix} =-1, \quad \det\begin{pmatrix}3&1\k&0\end{pmatrix} =-k, \quad \det\begin{pmatrix}3&k\k&1\end{pmatrix} =3-k^2.
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\det(A) =1\cdot(-1) +3\cdot(-k) +k\,(3-k^2) =-1-3k+3k-k^3 =-1-k^3.

Passo 4

Impondo \det(A)=0 temos
-1-k^3=0 \quad\Longrightarrow\quad k^3=-1 \quad\Longrightarrow\quad k=-1.
Portanto, para k=-1 o sistema é singular e admite solução não trivial.

Passo 5

Agora basta ver em qual dos intervalos dados está -1. Como -1\in(-2,1], a alternativa correta é a letra b).

Resposta

b) (-2,1]

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