(EsPCEx-17) Considere o sistema linear homogênco \left\{\begin{array}{l}x-3 y+k z=0 \\\\ 3 x+k y+z=0, \text { onde } \\\ k x+y=0\end{array}\right.k é um número real. O único valor que torna o sistema, acima, possivel e indeterminado, pertence ao intervalo
a) (-4,-2]
b) (-2,1]
c) (1,2]
d) (2,4]
e) (4,6]
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear homogêneo em x,y,z que depende do parâmetro real k. Queremos saber para qual valor de k o sistema é possível e indeterminado (isto é, admite solução não trivial). O conteúdo usado aqui é que, num sistema homogêneo, há soluções não triviais exatamente quando a matriz de coeficientes é singular, ou seja, quando o determinante é zero.
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & k\\\\ 3 & k & 1\\\ k & 1 & 0 \end{pmatrix}
e lembramos que o sistema homogêneo A\,(x,y,z)^T=0 tem solução não trivial se, e somente se,
\det(A)=0.
Passo 3
Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha: