(FGV-16) Pablo. Ana c Marla foram a um shopping em sua cidade.
  • Pablo comprou 1 agenda. 1 livroe 1 CD e disse que gastou R$75.00.
  • Ana comprou 3 agendas, 1 livro e 2 CDs e disse que gastou R$ 150.00.
  • Iá Marta disse que gastou R$ 400,00. comprando 5 agendas. 3 livros e 4 Cds.
    Sabe-se que cada agenda custava \times reais, cada livro, y reais e cada CD. z reais.
    a) Demonstre que pelo menos um deles mentiu.
    b) Se Marta tiver sido a única que mentiu, demonstre que o preço de venda de cada agenda cra igual ao de cada livro.

Passo 1

O enunciado define as variáveis: x é o preço da agenda, y o preço do livro e z o preço do CD. Pablo afirma ter gasto R$ 75,00 comprando 1 agenda, 1 livro e 1 CD; Ana afirma ter gasto R$ 150,00 em 3 agendas, 1 livro e 2 CDs; Marta afirma ter gasto R$ 400,00 em 5 agendas, 3 livros e 4 CDs. Vamos montar as equações desse sistema linear e avaliar sua consistência.

Passo 2

Das falas de Pablo e Ana obtemos as equações
x + y + z = 75
e
3x + y + 2z = 150.

Passo 3

Para eliminar z, subtraímos duas vezes a primeira equação da segunda:
3x + y + 2z \;-\;2(x+y+z)\;=\;150 \;-\;2\cdot75
logo
x - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = y.

Passo 4

Substituindo y = x em x+y+z=75 resulta
2x + z = 75
e portanto
z = 75 - 2x.

Passo 5

Supondo que todos disseram a verdade, a equação de Marta
5x + 3y + 4z = 400
com y=x e z=75-2x fica
5x+3x+4(75-2x)=400 \quad\Longrightarrow\quad 8x + 300 -8x = 400 \quad\Longrightarrow\quad 300 = 400,
o que é absurdo. Logo, o sistema é inconsistente.

Passo 6

Concluímos que pelo menos um deles mentiu, pois não há solução que satisfaça as três equações simultaneamente.

Passo 7

Se Marta foi a única que mentiu, então apenas as equações de Pablo e Ana valem, e delas já obtivemos x=y. Assim, o preço de cada agenda é igual ao preço de cada livro.

Resposta

a) Pelo menos um dos três mentiu, pois o sistema com as três equações é inconsistente.
b) Admitindo que somente Marta mentiu, das duas primeiras equações segue x=y, ou seja, cada agenda custa o mesmo que cada livro.

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