(FGV-18) Sejam me n números reais c\left\{\begin{array}{l}3 x+m y=n \\\ x+2 y=1\end{array}\right. um sistema de equaçòcs nas incógnitas x e y. A respeito da representação geométrica desse sistema no plano cartesiano, é correto afirmar que, necessariamente, é formada por duas retas
a) paralclas distintas, se m=6 c n \neq 3.
b) paralelas coincidentes, se m=6 e n \neq 3.
c) paralelas distintas, se \mathrm{m}=6.
d) paralelas coincidentes, se n=3.
e) concorrentes, se m \neq 0.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 3x + m\,y = n,\\\ x + 2y = 1, \end{cases}
que geometricamente são duas retas L_1 e L_2 no plano. Vamos reescrever cada reta na forma declive-intercepto para comparar inclinações e posições.

Passo 2

Isolando y em cada equação, para L_1:
3x + m\,y = n \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{3}{m}\,x + \frac{n}{m}.
Para L_2:
x + 2y = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{1}{2}\,x + \tfrac12.
Logo, o declive de L_1 é -3/m e o declive de L_2 é -1/2.

Passo 3

Duas retas são paralelas quando têm o mesmo declive. Impõe-se
-\frac{3}{m} = -\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{m} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad m = 6.
Assim, se m\neq6, os declives são diferentes e as retas se concorrem (têm interseção única).

Passo 4

Quando m=6, as retas são paralelas. Para serem coincidentes, além de declive igual, precisam ter o mesmo intercepto em y. Com m=6, o intercepto de L_1 é
\frac{n}{m} = \frac{n}{6}
e de L_2 é \tfrac12. Igualando-os:
\frac{n}{6} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad n = 3.
Logo, se m=6 e n=3 as retas coincidem; se m=6 e n\neq3 são paralelas distintas.

Passo 5

Recapitulando as opções:
a) paralelas distintas, se m=6 e n\neq3.
b) paralelas coincidentes, se m=6 e n\neq3.
c) paralelas distintas, se m=6.
d) paralelas coincidentes, se n=3.
e) concorrentes, se m\neq0.
A única que condiz com nossa análise é a (a).

Resposta

a) paraleloas distintas, se m=6 e n\neq3.

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