(EsPCEx-SP) O menor valor que a função real y=(12)^-x^2+6 x-9 pode assumir é:
a) 1
b) 2
c) 12
d) 14
e) 18

Passo 1

O enunciado dá a função
y = l(tfrac12r)^-x^2 + 6x - 9
e pede o menor valor de y. É uma exponencial de base menor que 1, então precisamos estudar o expoente (uma quadrática) e a monotonicidade da exponencial.

Passo 2

Escrevemos o expoente em forma canônica:
-x^2 + 6x - 9 = -l(x^2 -6x +9r) = -(x-3)^2

Passo 3

Como (x-3)^2 >= 0 para todo x, temos
-(x-3)^2 <= 0,
com igualdade em x=3. Logo o expoente varia em (-infty,0].

Passo 4

Para t<=0, a função
f(t) = l(tfrac12r)^t
é decrescente em t (base <1). Assim, quanto maior for t (ou seja, mais perto de 0), menor é f(t). O valor mínimo de f(t) em (-infty,0] ocorre em t=0, dando
f(0) = l(tfrac12r)^0 = 1
Em x=3, o expoente é 0, então ymin=1.

Resposta

a) 1

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