(EsPCEx-SP) A soma das raízes da equação 3^x+3^1-x=4 é:

Passo 1

O enunciado pede a soma das raízes da equação
3^x + 3^1 - x = 4
O conteúdo envolvido é resolução de equações exponenciais. Vamos usar a propriedade de que 3^1 - x = 3cdot 3^-x = 3/(3^x) e então fazer uma substituição que transforme tudo em uma equação quadrática em uma nova variável.

Passo 2

Definimos
t = 3^x,
com t>0.
Então
3^1 - x = 33^x = 3t
Substituindo na equação original, obtemos
t + 3t = 4

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por t (que é não nulo) para eliminar o denominador:
t^2 + 3 = 4t Longrightarrow t^2 - 4t + 3 = 0
Essa é uma equação quadrática padrão.

Passo 4

Resolvendo
t^2 - 4t + 3 = 0
por fatoração, temos
(t - 1)(t - 3) = 0 Longrightarrow t = 1 ou t = 3
Voltando à variável x, resolvemos
  1. Se t=1, então 3^x=1 e daí
x=0
  1. Se t=3, então 3^x=3 e daí
x=1
As raízes da equação são x1=0 e x2=1.

Passo 5

A soma das raízes é
x1 + x2 = 0 + 1 = 1

Resposta

1

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