(ESPM-2003) O número natural N=180 p, onde p é um número primo, possui 27 divisores naturais. O valor de p é:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 11

Passo 1

O enunciado diz que N = 180 cdot p, onde p é primo, e que N tem 27 divisores naturais. O conteúdo aqui é a função número de divisores, que para um número
N = prodi qi^ai
é dada por
d(N) = prodi (ai + 1)
Vamos fatorar 180 e depois testar as possibilidades para p.

Passo 2

Fatorando 180 em primos temos
180 = 2^2 cdot 3^2 cdot 5^1
Logo, se p for distinto de 2,3,5, então
N = 2^2 cdot 3^2 cdot 5^1 cdot p^1
e
d(N) = (2+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 3 cdot 3 cdot 2 cdot 2 = 36
Como isso não dá 27, p deve ser um dos fatores de 180.

Passo 3

Testamos cada caso:
  • Se p=2, então N = 2^3cdot3^2cdot5^1 e d(N) = (3+1)(2+1)(1+1) = 4cdot3cdot2 = 24
  • Se p=3, então N = 2^2cdot3^3cdot5^1 e d(N) = (2+1)(3+1)(1+1) = 3cdot4cdot2 = 24
  • Se p=5, então N = 2^2cdot3^2cdot5^2 e d(N) = (2+1)(2+1)(2+1) = 3cdot3cdot3 = 27

Passo 4

Nos outros possíveis fatores, p=7 ou p=11, teríamos exponente 1 para cada novo primo e voltaríamos ao caso de 36 divisores, não a 27.

Resposta

c) 5

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