Mostrar que não existe um inteiro positivo n tal que s(n)=10.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe um inteiro positivo n tal que a soma dos divisores de n, denotada por s(n), seja igual a 10. Vamos usar propriedades básicas da função soma dos divisores.

Passo 2

Observamos que, para todo n>1, os divisores de n incluem 1 e n, logo
s(n);=;sumdmid nd;>=;1+n
Assim, se s(n)=10, temos 1+n<=10, ou seja n<=9.

Passo 3

Basta então verificar n=1,2,dots,9. Calculamos:
Para n=1, s(1)=1.
Para n=2, s(2)=1+2=3.
Para n=3, s(3)=1+3=4.
Para n=4, s(4)=1+2+4=7.
Para n=5, s(5)=1+5=6.
Para n=6, s(6)=1+2+3+6=12.
Para n=7, s(7)=1+7=8.
Para n=8, s(8)=1+2+4+8=15.
Para n=9, s(9)=1+3+9=13.
Nenhum desses valores é 10.

Resposta

Não existe inteiro positivo n tal que s(n)=10.

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