(ESPM-04) O desenvolvimento do binómio (\sqrt[3]{x}+\sqrt{x})^{12} apresenta n termos com radical. O valor de n é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12

Passo 1

O enunciado pede para expandirmos o binómio \bigl(\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}\bigr)^{12} e contar quantos termos na expansão têm expoente fracionário (isto é, são termos com radical). Para isso, vamos usar o teorema do binómio de Newton e propriedades de potências.

Passo 2

Pelo teorema do binómio, a expansão é
\bigl(\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}\bigr)^{12} =\sum_{j=0}^{12}\binom{12}{j}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{12-j}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{j}.
Cada termo genérico é
T_j=\binom{12}{j}\,x^{\frac{12-j}{3}}\,x^{\frac{j}{2}}.

Passo 3

Somando os expoentes de x, obtemos
\frac{12-j}{3}+\frac{j}{2} =4-j\cdot\frac{1}{3}+j\cdot\frac{1}{2} =4+\frac{j}{6}.
Logo o j-ésimo termo vale
T_j=\binom{12}{j}\,x^{4+\frac{j}{6}}.

Passo 4

O expoente 4+\tfrac{j}{6} é inteiro exatamente quando \tfrac{j}{6} é inteiro, ou seja, j\in\{0,6,12\}. Isso dá 3 termos com expoente inteiro. Como há ao todo 13 termos ( j=0,1,\dots,12), o número de termos com expoente fracionário (radical) é
13 - 3 = 10.

Resposta

10

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