(Insper-04) Se n é um número natural não nulo, então:
\binom{2 n+1}{0}+\binom{2 n+1}{1}+\binom{2 n+1}{2}+\ldots+\binom{2 n+1}{n-1}+\binom{2 n+1}{n} é igual a:
a) 2^{2 n}
b) 2^{2 n+1}
c) 2^{2 n-1}
d) 2^{n}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
S = \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k}
onde n é um número natural não nulo. Para resolver vamos usar o Teorema Binomial e a simetria dos coeficientes binomiais.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, a soma de todos os coeficientes de (1+1)^{2n+1} é
\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}.

Passo 3

Como 2n+1 é ímpar, não existe termo “do meio” isolado e vale a simetria
\binom{2n+1}{k} = \binom{2n+1}{2n+1-k}.
Portanto, a soma dos primeiros n+1 termos (de k=0 até k=n) é exatamente metade do total:
S = \frac{1}{2}\,2^{2n+1} = 2^{2n}.

Resposta

A alternativa correta é a) 2^{2n}.

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